Hola estoy haciendo los ejercicios del Tp 9 de integrales multiples y cuando llego eal 10 de integrales triples se me hace imposible definir los recintos, en particular en el A y C, no se si alguien me puede tirar una mano con esos dos, gracias!
si subis los enunciado con gusto..... alguno aca no tenemos la guia de am2
jaj disculpa....
Calcular el volumen de H con integrales triples, usando el sistema de coordenadas mas conveniente
A) H definido por 2y>=x´2 + z, x + y<= 4 , 1° octante
C) H definido por x¨2 + z¨2 <= 2ax, interior a la esfera de radio 2a con centro en el origen de coordenadas
(08-10-2012 15:21)SaintAgust escribió: [ -> ]jaj disculpa....
Calcular el volumen de H con integrales triples, usando el sistema de coordenadas mas conveniente
A) H definido por 2y>=x´2 + z, x + y<= 4 , 1° octante
supongo que esta elevado al cuadrado jee de los superficies dadas, definimos
\[y\geq \frac{x^2+z}{2}\quad y\leq 4-x\to \boxed{\frac{x^2+z}{2}\leq y\leq 4-x}\]
por transtividad
\[\frac{x^2+z}{2} \leq 4-x\to \boxed{0\leq z\leq 8-2x-x^2}\]
por transitividad
\[0\leq 8-2x-x^2\to \boxed{0\leq x\leq 2}\]
la integral es
\[V=\int_{0}^{2}\int_{0}^{8-2x-x^2}\int_{\frac{x^2+z}{2}}^{4-x}dydzdx=\frac{68}{5}\]
Cita:C) H definido por x¨2 + z¨2 <= 2ax, interior a la esfera de radio 2a con centro en el origen de coordenadas
la ecuacion de la esfera es \[x^2+y^2+z^2\leq 4a^2\]
aplicando polares sobre xz dejando
\[r^2\leq 2ar\cos\theta\]
de donde deducis
\[0\leq r\leq 2a\cos\theta\]
por transitividad
\[0\leq 2a\cos\theta \to -\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\]
aplicando las polares en la esfera
\[-\sqrt{4a^2-r^2}\leq z\leq \sqrt{4a^2-r^2}\]
para ahorrar cuentas multiplicamos a la integral por 4 entonces tenes para evaluar
\[4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2a\cos\theta}\int_{0}^{\sqrt{4a^2-r^2}}rdzdrd\theta=....\]
te dejo las cuentas
, cualquier duda pregunta
Ya que es el mismo ejercicio quería saber si me pueden ayudar.
Es el punto g) del ejercicio.
Calcular el volumen de H con integrales triples, usando el sistema de coordenadas mas conveniente
H definido por
\[y \geq x^{2}, x^{2} + y^{2} \leq 2, z \geq 0, z\leq x \]
Jugando un poco con los datos del enunciado llegué a los siguientes límites de integración:
\[0 \leq z \leq x, 0 \leq r \leq \sqrt{2}, -\frac{\pi }{2} \leq \Theta \leq \frac{\pi }{2}\]
Creo que le pifié un poco a el intervalo de \[\Theta\], lo hice despejando de
\[0 \leq z \leq x \Rightarrow 0 \leq r cos(\Theta ) \Rightarrow -\frac{\pi }{2} \leq \Theta \leq \frac{\pi }{2}\]
espero que alguien me de una mano, gracias.
Dejalo en cartesianas ... el volumen esta definido por (lo hago por una integral doble)
\[V=\iint_{P_{xy}} \left ( \int_{0}^{x}dz \right )dydx=\iint_{P_{xy}} xdydx\]
el recinto sobre el plano xy es
![[Imagen: 1043851_10201385779386462_1392723345_n.jpg]](https://camo.utnianos.com.ar/b17cc0a3859f91e249972748e03b89ca3d4a09d7/687474703a2f2f7370686f746f732d622e616b2e666263646e2e6e65742f6870686f746f732d616b2d70726e322f313034333835315f31303230313338353737393338363436325f313339323732333334355f6e2e6a7067)
luego
\[V=\iint_{P_{xy}} xdydx=2\left ( \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}}xdydx\right )=\frac{1}{6}(8\sqrt{2}-7)\]
(22-06-2013 18:07)Saga escribió: [ -> ]\[V=\iint_{P_{xy}} xdydx=2\left ( \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}}xdydx\right )=\frac{1}{6}(8\sqrt{2}-7)\]
En la guía da \[\frac{2}{3} \sqrt{2} - \frac{7}{12}\]
No parece ser lo mismo
Debe tener un error la guia, o te falto alguna restricción en el enunciado, como ser EN EL PRIMER OCTANTE si haces eso tenes que
\[\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}} xdydx=\frac{1}{12}(8\sqrt{2}-7)=\frac{2}{3}\sqrt{2}-\frac{7}{12}\]
así que vos diras, ya que no tengo la guía de am2
Hola!, una pregunta, en este ejercicio de donde salio el limite de integracion entre 0 y 1 para x?
Gracias!
(19-02-2015 03:07)javierw81 escribió: [ -> ]Hola!, una pregunta, en este ejercicio de donde salio el limite de integracion entre 0 y 1 para x?
Gracias!
observa que
\[x^2\leq y\leq \sqrt{2-x^2}\]
por transitividad
\[x^2\leq \sqrt{2-x^2}\]
de donde
\[x^4\leq 2-x^2\]
pasando todo a un lado de la desigualdad
\[x^4+x^2-2\leq 0\]
factorizando
\[(x^2-1)(x+2)^2\leq 0\]
para que se cumpla la desigualdad necesariamente
\[(x^2-1)\leq 0\]
finalmente
\[|x|\leq 1\]
(08-10-2012 17:00)Saga escribió: [ -> ]Cita:C) H definido por x¨2 + z¨2 <= 2ax, interior a la esfera de radio 2a con centro en el origen de coordenadas
la ecuacion de la esfera es \[x^2+y^2+z^2\leq 4a^2\]
aplicando polares sobre xz dejando
\[r^2\leq 2ar\cos\theta\]
de donde deducis
\[0\leq r\leq 2a\cos\theta\]
por transitividad
\[0\leq 2a\cos\theta \to -\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\]
aplicando las polares en la esfera
\[-\sqrt{4a^2-r^2}\leq z\leq \sqrt{4a^2-r^2}\]
para ahorrar cuentas multiplicamos a la integral por 4 entonces tenes para evaluar
\[4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2a\cos\theta}\int_{0}^{\sqrt{4a^2-r^2}}rdzdrd\theta=....\]
te dejo las cuentas , cualquier duda pregunta
Saga todo bien? Te hago una consulta.
Por que a la integral del VOLUMEN la multiplicas por 4? muchas gracias.