UTNianos

5)Calcule la siguiente integral. Puede llegar a convenir invertir el orden de integración.

\[\int_{0}^{1} \int_{y}^{1}e^{^{x^{2}}}dxdy\]

Como esa integral se desarrolla por serie, creo que conviene invertir el orden de integración. Acá me pierdo, yo puedo cambiar el orden cuando solo están dxdy sin ninguna otra expresión en la integral. Pero la verdad acá no tengo ni idea qué hacer. Como \[e^{^{x^{2}}\] no es integrable salvo que sea en serie, despejé la x y me quedó x=ln (y) / 2 .
No se que hice asi que les agradecería que me ayuden con este ejercicio. Saludos.

Como bien decis, conviene cambiar los limites de integración, si haces un dibujo del recinto (para poder ayudarte con el cambio) tenes

\[R=\left \{ X\in R^2/0\leq y\leq 1\wedge y\leq x\leq 1 \right \}\]

cuando cambias los limites de integración te queda

\[R=\left \{ X\in R^2/0\leq y\leq x \wedge 0\leq x\leq 1 \right \}\]

de donde la integral a resolver es

\[\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}e^{x^2}dydx=\frac{1}{2}(e-1)\]

¿Cómo podés calcular los nuevos límites analíticamente?
No logro darme cuenta a través del gráfico

Aunque no parezca son muchas cuentas de forma analitica, en cambio con el dibujo del recinto es mas simple, observa el dibujo que corresponde



la linea morada corresponde a los limites dados por el ejercicio, para cambiar el orden de integracion trazo otra recta (la naranja) a travez del recinto de integracion, hecho esto puedo deducir cual es el "techo" y el "piso" quedando

\[0<y<x\quad 0<x<1\]

Se entiende ??