UTNianos

Buenas! tengo una duda con las soluciones del siguiente ejercicio:

\[2 cos^{3}(x) + cos^{2}(x) - 2cos(x) -1 = 0\] \[x \varepsilon \left [ 0,3\pi \right )\]

\[cos(x).(2cos^{2}(x) + cos(x) -2) = 1\]

\[2cos^{2}(x) + cos(x) -2= \frac{1}{cos(x)}\]

\[2cos^{2}(x) + cos(x) = \frac{1}{cos(x)} +2\]

\[cos(x) (2cos(x) + 1) = \frac{1+2cos(x)}{cos(x)}\]

\[cos(x) = \frac{1+2cos(x)}{cos(x). (2cos(x)+1)}\]

\[cos(x) = \frac{1}{cos(x)}\]

\[cos^2(x) = 1\]

\[cos(x) = 1\]

y llegue a los siguientes valores:

\[x = 0 , x=\pi , x=2\pi \]

Pero la respuesta del ejercicio es:

\[S=\left \{0,\frac{2}{3}\pi,\frac{8}{3}\pi ,\frac{4}{3},\pi ,2\pi }{ \right \}\]

La pregunta del millon es como corno llega a esos valores, muchas gracias!

No sé los valores, pero hay 6 soluciones porque recordá que la solución es |cos(x)|, por lo tanto son los valores positivos y negativos.

Pero son los mismos valores!

(10-11-2012 20:15)Feddyn escribió: [ -> ]Buenas! tengo una duda con las soluciones del siguiente ejercicio:

\[2 cos^{3}(x) + cos^{2}(x) - 2cos(x) -1 = 0\] \[x \varepsilon \left [ 0,3\pi \right )\]

observa que con un cambio de variable te ahorras muchas cuentas y llegas a los mismos resultados, haciendo

\[u=\cos x\to 2u^3+u^2-2u-1=0\]

resolviendo sacas que las raíces son

\[u=1\quad u=-1\quad u=-\frac{1}{2}\]

volviendo a la variable original

\[\cos x=1\quad \cos x=-1\quad \cos x=-\frac{1}{2}\]

en 1 y -1 los valores de x son respectivamente (los pongo en grados, no te olvides pasarlo a radianes)

\[x=0\quad x=360\quad \wedge \quad x=180\quad x=540\]

el ultimo no lo tomo por la restriccion del enunciado, ahora cuando

\[\cos x=-\frac{1}{2}\to x=120\]

lo que nos indica que los ceros seran multiplos de 120, por lo tanto, de forma general las raíces las podemos escribir como

\[x_k=120+120k\quad k\in Z\]

dando valores a k

\[\\x_0=120\\ x_1=240 \\x_2=360\\x_3=480\\x_4=600\]

como nuestra solucion esta acotada, en el intervalo \[x\in\left [ 0,540^o\right )\], entonces solo tomo hasta k=3, de donde pasado a radianes la solucion sera la unión de todas las raíces

\[S=\left \{0,\pi,\frac{2}{3}\pi,\frac{4}{3}\pi,2\pi, ,\frac{8}{3}\pi \right \}\]

Muchas gracias genio!

Una consulta, ese ejercicio esta en el libro o lo sacaste de un modelo? Gracias!

Lo saque de un modelo!