Hola gente como andan?
Bueno estoy aca con 2 ejercicios de TL de la guia complementaria que no me salen. Estos dicen asi:
52. Dada la funcion:
\[f:\mathbb{R}^{3}-->\mathbb{R}^{3}/f(x)= AX\]
\[A=\begin{pmatrix} 2& 1 &1 \\ 0 &1 &1 \\ 0& 0 & 0\end{pmatrix}\]
a) Encuentre el conjunto imagen de la funcion y justifique por que es un subespacio.
b) Halle todos los vectores cuya imagen es el mismo vector (AX = X). ¿Cual es la interpretacion geometrica?
56. Halle la expresion de una TL \[T: \mathbb{R}^{3}-->\mathbb{R}^{3}\] tal que:
\[Nu(t)=\left \{ (-2,1,0) \right \}\]
Imagen de T: vectores posicion incluidos en el plano: Q: x + 2y -3z = 0
Esos son. Espero que me puedan ayudar
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.
Un abrazo.
56) Con vectores posicion de ese plano, se refieren a los generadores del mismo, encontra cuales son, luego para definir T simplemente tomas dos vectores LI del espacio de salida, los que mas te gusten, me refiero a hacer
\[\\T(-2,1,0)=(0,0,0)\\T(1,0,0)=(?,?,?)\\T(0,1,0)=(?,?,?)\]
donde ??? seran los generadores del plano
el otro banca que lo pienso
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(18-11-2012 16:37)Saga escribió: [ -> ]56) Con vectores posicion de ese plano, se refieren a los generadores del mismo, encontra cuales son, luego para definir T simplemente tomas dos vectores LI del espacio de salida, los que mas te gusten, me refiero a hacer
\[\\T(-2,1,0)=(0,0,0)\\T(1,0,0)=(?,?,?)\\T(0,1,0)=(?,?,?)\]
donde ??? seran los generadores del plano
el otro banca que lo pienso
Como encuentro los generadores del plano?
(18-11-2012 17:08)Gonsha escribió: [ -> ]Como encuentro los generadores del plano?
a esta altura ......
como sabes la normal del plano esta generada por los vectores que estan en el plano, y ademas son perpendiculares entre si, sea (a,b,c) uno de los infinitos vectores en el plano, por ser perpendicular a la normal se cumple que
\[(a.b.c)(1,2,-3)=a+2b-3c=0\to a=-2b+3c\]
entonces los vectores que estan el el plano son de la forma
\[(-2b+3c,b,c)=b(-2,1,0)+c(3,0,1)\]
ahi tenes dos generadores de los infinitos que puede haber, podes verificar haciendo el producto vectorial entre ellos, te da la normal , se entiende ?
(18-11-2012 17:20)Saga escribió: [ -> ] (18-11-2012 17:08)Gonsha escribió: [ -> ]Como encuentro los generadores del plano?
a esta altura ...... como sabes la normal del plano esta generada por los vectores que estan en el plano, y ademas son perpendiculares entre si, sea (a,b,c) uno de los infinitos vectores en el plano, por ser perpendicular a la normal se cumple que
\[(a.b.c)(1,2,-3)=a+2b-3c=0\to a=-2b+3c\]
entonces los vectores que estan el el plano son de la forma
\[(-2b+3c,b,c)=b(-2,1,0)+c(3,0,1)\]
ahi tenes dos generadores de los infinitos que puede haber, podes verificar haciendo el producto vectorial entre ellos, te da la normal , se entiende ?
Osea que en donde antes pusiste (???) ahora podría poner:
(-2,1,0) y (3,0,1) si le doy a b = c = 1?
(18-11-2012 17:56)Gonsha escribió: [ -> ]Osea que en donde antes pusiste (???) ahora podría poner:
(-2,1,0) y (3,0,1)
Sí
Cita: si le doy a b = c = 1?
No necesariamente b y c son escalares distintos del nulo, podes poner el valor que vos quieras salvo el nulo obviamente, sino, no hay plano que formar, con otros valores te quedara una normal proporcional a la del plano, en esencia la misma normal, probalo, y verifacalo haciendo el producto vectorial
(17-11-2012 20:02)Gonsha escribió: [ -> ]Hola gente como andan?
Bueno estoy aca con 2 ejercicios de TL de la guia complementaria que no me salen. Estos dicen asi:
52. Dada la funcion:
\[f:\mathbb{R}^{3}-->\mathbb{R}^{3}/f(x)= AX\]
\[A=\begin{pmatrix} 2& 1 &1 \\ 0 &1 &1 \\ 0& & 0\end{pmatrix}\]
a) Encuentre el conjunto imagen de la funcion y justifique por que es un subespacio.
b) Halle todos los vectores cuya imagen es el mismo vector (AX = X). ¿Cual es la interpretacion geometrica?
Gonsha, falta un valor en la matriz, yo no tengo la guia para completarlo
la TL se define como
\[f:R^3\longrightarrow{R^3}/f(x,y,z)=\begin{bmatrix}{2}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\overline{X}\]
Aplicando la definicion de imagen obtenemos
\[\begin{bmatrix}{2}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\overline{X}=(a,b,c)^t\]
de donde se deduce que c=0 por lo tanto el conjunto imagen se define como
\[Im (f)=\left\{x\in{R^3}/c=0\right\}\] geometricamente plano que contiene al origen, para justificar si es un subespacion solo aplica los axiomas correspondientes
Para el segundo item, simplemente es usar lo que nos dan como dato
\[AX=X\Longrightarrow{\begin{Bmatrix} 2x+y+z=x\\y+z=y\\0=z \end{matrix}}\]
despejando de manera habitual obtenes que \[y=-x \wedge z=0\] con lo cual obtenes
\[S=\left\{x\in{R^3}/x(1,-1,0)\quad x\in{R}\right\}\]
geometricamente una recta que pasa por el origen