UTNianos

El ejercicio dice asi : Calcule el area de porcion de \[y=x^{2}+z^{2}\] que resulta exterior a \[y=2\sqrt{x^{2} + z^{2}}\] .

Gráfico de x^{2}+z^{2}.



Gráfico de 2\sqrt{x^{2} + z^{2}}.



Mi intento de resolucion va que

en el plano y=4 los dos tienen la misma circunferencia \[x^{2} + z^{2}\] por lo que si yo proyecto el cono sobre el plano zx y el paraboloide sobre el plano zx los dos me van a dar una circunferencia de radio 2

entonces me qeda
\[\iint_{r}^{r} dxdz/cos(ny))\]

la cuestion que haciendo cambio de coordenadas me qeuda una integral muy fea con numero raro cosa que no creo si lo que estoy pensando esta bien

Si alguien me podria dar una mano de como va le agradezco

Tomando una parametrización adecuada tenes que

\[g:R^2\to R^3/g(x,z)=(x,x^2+z^2,z)\]

por definicion sabes que el area de una superficie viene dada por

\[A=\iint_R ||g'_u\times g'_v||dudv\]

donde calculando los vectores elementales, haciendo el producto vectorial y calculando su norma tenes

\[||g'_x\times g'_z||=\sqrt{4x^2+4z^2+1}\]

reemplazando la parametrizacion en

\[y=2\sqrt{x^2+z^2}\]

tenes

\[x^2+z^2=2\sqrt{x^2+z^2}\quad (*)\]

tomo coordenadas cilindricas

\[G:R^3\to R^3/G(r,y,\theta)=(r\cos\theta,y,r\sin\theta)\]

reemplazando estas coordenadas en (*)

tenes

\[r^2=2\sqrt{r^2}\to r\in [0,2]\]

no hay restricciones angulares, entonces

\[A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\sqrt{4r^2+1}rdrd\theta=\frac{1}{6}(17\sqrt{17}-1)\approx 36,17\]