1) tenes
\[\sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq 2-x^2-y^2\]
tomando cilindricas te queda
\[\boxed{r\leq z\leq 2-r^2}\]
por transitividad
\[r\leq 2-r^2\to \boxed{r\in[0,{\color{Red} 1}]}\]
como \[y\geq x\] tenes una restriccion angular, como estas con coordenadas cilindricas entonces
\[r\sin\theta\geq r\cos\theta\to \boxed{\frac{\pi}{4}\leq \theta\leq \frac{5}{4}\pi}\]
finalmente
\[V=\iiint rdzdrd\theta={\color{Red} \frac{5}{12}\pi}\]
2) parametriza el cilindro como
\[g:R^2\to R^3/g(t,y)=(\sqrt{2}\cos t,y,\sqrt{2}\sin t)\]
el area por definicion viene dada por
\[A=\iint ||g'_t\times g'_y||dtdy\]
calculando los vectores elementales y haciendo el producto vectorial tenes que
\[||g'_t\times g'_y||=2\]
para los limites, solo tenes que poner las superficies dadas en funcion de la parametrizacion elegida, recorda que estas en el primer octante
\[y\leq x\to \boxed{0\leq y\leq \sqrt{2}\cos t}\]
\[z\geq x\to\sqrt{2}\sin t\geq \sqrt{2}\cos t\to \boxed{t\in\left [ \frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2} \right ]}\]
finalmente
\[A=\iint 2 dydt=2(\sqrt{2}-1)\]
3) sale por definicion, parametriza la curva como
\[C:R\to R^3/C(x)=(x,-x,x-x^2)\quad x\in[2,1]\]
la derivadad es
\[C'(x)=(1,-1,1-2x)\]
por definicion
\[\omega=\int_{2}^{1} f(C(x))C'(x)dx=\int_{2}^{1} -4x^3-2x+3x^2dx=11\]
Carolina escribió:En el punto 3
No cumple con los puntos, yo cuando hago C(2) no me da (2,2,2) o esto no es necesario? yo por que el flax cuando lo corrobora siempre le da.
4) tambien sale por definicion
\[\varphi=\iint_R f n ds=\iint f(g(y,x)) n dydx\]
parametrizando la superficie sobre la cual te piden el flujo como
\[g:R^2\to R^3/g(y,x)=(x,y,x^2+y^2)\]
la normal es el producto de los vectores elementales entonces
\[n=g'_y\times g'_x=(2x,2y,-1)\]
aplicando la definicion tenes
\[f(g(y,x))=(x,y,2x^2+2y^2-y)\]
haciendo el producto escalar con la normal queda
\[\iint_R ydydx\]
para los limites, tenes que poner las superficies en funcion de la parametrizacion elegida
\[z\leq 6\to x^2+y^2\leq 6\to y\leq \sqrt{6-x^2}\]
de donde por la otra restriccion deducies que
\[\boxed{x^2\leq y\leq \sqrt{6-x^2}}\]
luego por transitividad
\[x^2\leq \sqrt{6-x^2}\to \boxed{x\in[0,\sqrt{2}]}\]
finalmente
\[\varphi=\iint_R f n ds=\frac{34}{15}\sqrt{15}\]
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me equivoque feo en una cuentita jeje
