Hola a todos como anda ?
chicos necesito la ayuda de alguien que me explique como puede resolver estos dos ejercicios de álgebra de rectas y planos que no los entiendo bien
De desde ya mucha gracias
1) haciendo las respectivas cuentas obtenes las rectas
\[L(x)=(x,-3x-1,-x-2)\quad x\in R\]
\[S( \lambda)=(1,1-\lambda,3+\lambda)\quad \lambda\in R\]
a) R//L y ademas el punto P por donde pasa R esta definido como la interseccion del plano pi1 con la recta S, para hallar ese punto solo es reemplazar las componentes de la recta S en dicho plano
\[3x+y+1=3(1)+1-\lambda+1=3+2=\boxed{5=\lambda}\]
el punto sera \[S(5)=P(1,-4,8)\] , como la recta R es paralela a la recta L tiene su mismo director, entonces
\[\boxed{R(t)=(1+t,-4-3t,8-t)\quad t\in R}\]
b) Usamos la ecuacion del haz reducido que pasa por la recta L, que esta definido como
\[\pi: (3x+y+1)+\lambda(3x+2y-3z-4)=0\]
como pasa por el punto de interseccion con pi1 deducis que \[\lambda=0\]
por ende la ecuacion del plano pedida es
\[\boxed{\pi: 3x+y+1=0}\]
verifica que es perpendicular a la recta L, simplemente comprobando que el producto escalar de sus normales es cero
2) observa las condiciones para definir la recta L3:
De L3 paralela al plano z=0 deducis que \[L_3\perp(0,0,1)\]
De L3 perpendicular a L1 deducis \[L_3\perp(-1,-2,1)\]
luego
\[L_3\perp(-1,-2,1)\wedge L_3\perp(0,0,1)\to L_3=(-1,-2,1)\times (0,0,1)=(-2,1,0)\]
\[\times=\]producto vectorial
la recta pedida es
\[\boxed{L_3(\beta)=(2-2\beta,\beta,3)\quad\beta\in R}\]
para que hallar el valo de k que permita que L2 se corte con L3 (concurrentes) solo es resolver el sistema de ecuaciones que define implicitamente a L2 reemplazando las componentes de la recta
L3 segun corresponda
\[L_2:\left\{\begin{matrix}2x+y-z=k \\ x+y=0 \end{matrix}\right.\]
reemplazando
\[L_2 \cap L_3:\left\{\begin{matrix}4-4\beta+\beta-3=k \\ 2-2\beta+\beta=0 \end{matrix}\right.\]
de donde \[\beta=2\quad \boxed{k=-5}\]
el punto de interseccion sera \[L_3(2)=A(-2,2,3)\]
podes comprobar de forma sencilla que ese punto verifica la intersección
Buenísimo Mucha gracias por la ayuda
.gif "=)")