tengo un eje que no se como se resuelve si alguien me da una mano le estaría agradecido!
sea\[f(x)=3x^{2}-1\]
Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto P(2,8) y es tangente a la curva y=f(x). Graficar la curva y la recta
bueno este es el eje planteado desde ya muchas gracias!
La recta es y=6x-4 y corta a la grafica en x=1, fijate si podes pensar algo en funcion del resultado.
tendria q tener bien en claro la teoria!
Ahi lo saque.
1- Vos tenes que la funcion de la recta va a ser y = 6x * x + b donde 6x es la dervada de f(x). Pero ojo que esa funcion de la recta solo sirve para el punto en donde se cortan la recta y f(x).
2- Vos tenes que f(x) es y = 3x^2 -1
3- Igualas ambas funciones para ver donde se cortan, como la funcion de (1) solo sirve en el punto en donde se cortan, la podes usar en este caso.
4- 3x^2-1 = 6x^2+b eso te queda --> 0=3x^2+(b+1) (aca tenemos la primer ecuacion del sistema de ecuaciones)
5- Vos sabes que la funcion tiene que pasar por el punto (2,8) por ende de y=mx+b sale --> 8 = 2m + b donde m=6x, entonces --> 8=12x+b
6- Despejas b de (5) y te queda 8-12x=b para reemplazarlo en (4)
7- Ahora te queda una polinomica de grado 2 --> 0=3x^2+(8-12x)+1 de la cual te quedan dos raices --> x=1 x=3 <--
8- Esos son los dos puntos se junta la parabola con la recta tangente que pasa por el (2,8)
9- Seguila solo, ahora tenes que encontrar las ecuaciones que cortan a f(x) en x=1 y x=3 y que pasan por P(2,8). Si no sabes seguir decime y te sigo explicando.
muchas gracias ahora lo voy a intentar seguirrrr!!!!!!
mmm seria otra parabola? pero no se como encontrar la funcion todo lo que vos me explicaste lo entendi perfecto! tendria que buscar alguan funcion q pase por el punto x=1 y x=3 y P(2,8)
No es una parabola, a mi me da que hay dos posibles rectas que cumplen lo que te piden.
Ahora tenes que la recta tangente al punto f(1) y la recta tangente al punto f(3) que pase por el (2,8)
f'(x)=6x entonces f'(1) = 6 y f'(3)=18
entonces para la tangente en x=1 tenes:
y=m*x+b --> 8=6*2+b --> b= 8-12 = -4 ==> y=6x-4
entonces para la tangente en x=3 tenes:
y=m*x+b --> 8 = 18 * 2 + b --> b=8-36 ==> y=18x-28
Cualquier cosa pregunta.
uhhh q grande ahi me quedo clarooooooo muchas gracias!!!! ahora lo entendi!!!!! no es una parabola claro son 2 rectas que pueden crotar
Añado otra manera de resolucion a la excelente expliacion de alec
tenes que la recta pedida pasa por el punto (2,8) entonces la recta es
de la forma
\[y-8=m(x-2)\to y=mx-2m+8\]
los puntos que pertenecen a la parabola son de la forma
\[P(x,3x^2-1)\]
planteamos que esos puntos pasan por la recta pedida, nos queda
\[3x^2-1=mx-2m+8\to 3x^2-mx+2m-9=0\]
si resolvemos esa ecuacion cuadratica en funcion de m, y analizamos su
discriminante, tenemos
\[\triangle=m^2-24m+108\]
como la recta o rectas que nos piden son/es tangente a la parabola, la
la "toca" una vez, entonces necesariamente
\[\triangle=m^2-24m+108=0\]
de donde resolviendo otra vez esa ecuacion cudratica, las raices son
\[m=6\quad m=18\]
por ende las rectas que son tangentes a la parabola son
\[(y-8)=6(x-2)\quad (y-8)=18(x-2)\]
No conocia la forma de resolverlo de Saga, ahora esta forma sirve en toodos los casos ? Porque me acuerdo que habia unos ejercicios donde el punto no pertenecia a la parabola y habia que resolverlos de otra forma pero no recuerdo cual era
Gracias
En este caso el punto no pertenece a la parabola leaan.
Suerte!
(29-11-2012 10:13)leaan escribió: [ -> ]No conocia la forma de resolverlo de Saga, ahora esta forma sirve en toodos los casos ? Porque me acuerdo que habia unos ejercicios donde el punto no pertenecia a la parabola y habia que resolverlos de otra forma pero no recuerdo cual era
Sirve en tanto y en cuanto sepas la interpretacion geometrica del discriminante, en este ejercicio en particular como me pedian que la recta sea TANGENTE a la funcion cuadratica, entonces por
ese motivo impongo que unicamente pasa eso cuando el valor del discrimante es 0, si te pedian los valores de m para que la recta sea SECANTE entonces el discriminate debe ser mayor a 0.
En ningun momento dije que el punto (2,8) pertenece a la parabola, lo que si estoy seguro es que pertenece a la recta nada mas, se puede usar el metodo que uso yo o el de
alesc, esta
a gusto de cada uno
