30-11-2012, 13:50
Bueno gente, aca va el 2° Parcial de Analisis Matematico II del Profesor Santamartina recien traído de la facultad. A medida que lo vaya corrigiendo voy pasando las respuestas.
Spoiler: Mostrar
30-11-2012, 13:50
01-12-2012, 14:32
T1) tenes la ecuación
\[y''-y'=2-2x\]
cuya solucion sera
\[y=y_h+y_p\]
para hallar \[y_h\] planteamos el polinomio caracteristico asociado
\[r^2-r=0\to r=0\quad r=1\]
entonces
\[y_h=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\to \boxed{y_h=A+Be^x}\]
para la solucion particular, propongo
\[y_p=x(b+ax)\]
derivando dos veces y reemplazando en la ecuacion diferencial obtenes
\[2a-b-2ax=2-2x\to 2a-b=2\quad -2a=-2\]
resolviendo \[a=1\quad b=0\]
finalmente
\[y=A+Be^x+x^2\]
para hallar A y B solo aplica las condiciones iniciales , haciendo todas las cuentas obtenes que
\[y=x^2\]
la integral pedida es cartesianas y polares es
\[A=\int_{0}^{1}\int_{x}^{x^2}dydx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}} rdrd\theta=\frac{1}{6}\]
P1) usando la defincion correspondiente obtenes que
\[\nabla \varphi(x,y,z)=f(x,y,z)=(y,x,2z)\]
una parametrizacion adecuada
\[g:R^2\to R^3/ g(x,z)=(x,x^2,z)\to n=(2x,-1,0)\]
hechas las cuentas
\[\iint_R (2x^2-x)dzdx\]
evaluando las superficies en la parametrizacion elegida, la integral a resolver es
\[\int_{0}^{1}\int_{0}^{2-x-x^2}(2x^2-x)dzdx=\frac{1}{60}\]
P2) sale por el teorema de green
\[f(x,y,z)=(g(x)-y,y+x)\to Q'_x-P'_y=2\]
luego
\[\omega=\int_C fds=\iint_R Q'_x-P'_y dA=\iint_R 2 dydx\]
los limites, en cartesianas y polares son
\[\int_{0}^{1}\int_{x}^{\sqrt{2x-x^2}}2dydx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{2\sin\theta}2rdrd\theta=\frac{1}{2}(\pi-2)\approx 0,5707\]
P3) conviene trabajarla en cartesianas, calculamos la integral por una doble
\[\iint_R\left ( \int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}z dz \right )dA=\frac{1}{2}\iint_R (4-x^2 )dxdy\]
con
\[R=\left \{ x+y\geq 2 \quad x+2y\leq 6\right \}\]
finalmente
\[\frac{1}{2}\iint_R (4-x^2 )dxdy=\frac{1}{2}{\color{Red} \int_{0}^{2} }\int_{2-x}^{3-\frac{1}{2}x}(4-x^2)dydx={\color{Red} \frac{22}{3}}\]
Los otros que faltan bank que los pienso.gif ";)")
Editado: error en uno de los limites de integración
\[y''-y'=2-2x\]
cuya solucion sera
\[y=y_h+y_p\]
para hallar \[y_h\] planteamos el polinomio caracteristico asociado
\[r^2-r=0\to r=0\quad r=1\]
entonces
\[y_h=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\to \boxed{y_h=A+Be^x}\]
para la solucion particular, propongo
\[y_p=x(b+ax)\]
derivando dos veces y reemplazando en la ecuacion diferencial obtenes
\[2a-b-2ax=2-2x\to 2a-b=2\quad -2a=-2\]
resolviendo \[a=1\quad b=0\]
finalmente
\[y=A+Be^x+x^2\]
para hallar A y B solo aplica las condiciones iniciales , haciendo todas las cuentas obtenes que
\[y=x^2\]
la integral pedida es cartesianas y polares es
\[A=\int_{0}^{1}\int_{x}^{x^2}dydx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}} rdrd\theta=\frac{1}{6}\]
P1) usando la defincion correspondiente obtenes que
\[\nabla \varphi(x,y,z)=f(x,y,z)=(y,x,2z)\]
una parametrizacion adecuada
\[g:R^2\to R^3/ g(x,z)=(x,x^2,z)\to n=(2x,-1,0)\]
hechas las cuentas
\[\iint_R (2x^2-x)dzdx\]
evaluando las superficies en la parametrizacion elegida, la integral a resolver es
\[\int_{0}^{1}\int_{0}^{2-x-x^2}(2x^2-x)dzdx=\frac{1}{60}\]
P2) sale por el teorema de green
\[f(x,y,z)=(g(x)-y,y+x)\to Q'_x-P'_y=2\]
luego
\[\omega=\int_C fds=\iint_R Q'_x-P'_y dA=\iint_R 2 dydx\]
los limites, en cartesianas y polares son
\[\int_{0}^{1}\int_{x}^{\sqrt{2x-x^2}}2dydx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{2\sin\theta}2rdrd\theta=\frac{1}{2}(\pi-2)\approx 0,5707\]
P3) conviene trabajarla en cartesianas, calculamos la integral por una doble
\[\iint_R\left ( \int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}z dz \right )dA=\frac{1}{2}\iint_R (4-x^2 )dxdy\]
con
\[R=\left \{ x+y\geq 2 \quad x+2y\leq 6\right \}\]
finalmente
\[\frac{1}{2}\iint_R (4-x^2 )dxdy=\frac{1}{2}{\color{Red} \int_{0}^{2} }\int_{2-x}^{3-\frac{1}{2}x}(4-x^2)dydx={\color{Red} \frac{22}{3}}\]
Los otros que faltan bank que los pienso
Editado: error en uno de los limites de integración
15-02-2014, 12:41
15-02-2014, 12:56
15-02-2014, 18:13