UTNianos

Hola gente, traigo un recuperatorio del primer parcial de Análisis II luego subire el segundo ¿podrían ayudarme a resolverlo?.

1). a)- Sea la función \[f(x,y)=y\left |{x}\right |\] estudiar la diferenciabilidad en los puntos (0,0) y (2,1). Halle cuando sea posible, la ecuación del plano tangente a \[f(x,y)\] en los puntos dados.

b)-Halle la derivada direccional máxima de \[f(x,y)\] en (2,1).

2). Dada la curva \[C:\begin{cases} & \text{} z=x^2+(y-2)^2 \\ & \text{} 4y+z-6=0 \end{cases}\]

a)- Grafiquela y halle una parametrización de \[C\].

b)- Halle la ecuación de la recta tangente a la curva \[C\] en (1,1,2).

c).Calcule la circulación del campo de velocidades \[\overrightarrow{V}(x,y,z)=(x,y,3y)\] a lo largo de la curva \[C\].

3). a)- Dado el campo \[\overrightarrow{F}(x,y)=(2xy,x^2+2yz,3z^2+y^2)\] ¿existe una función \[f(x,y)\] tal que \[\nabla f=\overrightarrow{F}\]?

b)-Evalúe \[\displaystyle\int_{C}\overrightarrow{F}\overrightarrow{ds}\], siendo \[C\] la curva intersección entre los paraboloides \[z=x^2+y^2\] y \[z=8-x^2-y^2\].

c). Evalúe \[\displaystyle\int_{C}\overrightarrow{F}\overrightarrow{ds}\], siendo \[C\] el segmento de recta que une los puntos (1,1,2) y (3,2,1).

4).Dada la curva descrita por \[\vec{r}(t)=(tcost,tsent,\displaystyle\frac{2}{3} \sqrt[ ]{2} \sqrt[ ]{t^3})\]

a)- Si una partícula parte del origen siguiendo, la trayectoria \[\vec{r}(t)\], determinar en qué punto impacta la superficie \[x^2+y^2=2\]

b)- Calcular la distancia recorrida por la partícula desde el origen hasta el punto de impacto.

2)



a)

despejando z de la segunda y reemplazando en la primera, haciendo todas las cuentas obtenes

\[C:\left\{\begin{matrix}z=6-4y\\x^2+y^2=2 \end{matrix}\right.\]

la parametrizacion de la curva sera

\[\boxed{g:R\to R^3/g(t)=(\sqrt{2}\cos t,\sqrt{2}\sin t,6-4\sqrt{2}\sin t)\quad t\in [0,2\pi]}\]

b)

para hallar el valor del parametro t que cumpla con los puntos pedidos solo hay que hacer

\[g(t)=A\to(\sqrt{2}\cos t,\sqrt{2}\sin t,6-4\sqrt{2}\sin t)=(1,1,2)\]

de donde \[t=\frac{\pi}{4}\]

derivando g, y reemplazando el valor de t hallado en dicha derivada, y asociando el punto dado, la ecuacion de la recta tangente es (salvo error en cuentas)

\[\boxed{r(\lambda)=(1-\lambda,1+\lambda,2+4\lambda)}\]

c) por definicion

\[\omega=\int fds=\int_C f(g(t))g'(t)dt\]

tenes la curva, solo es derivar y hacer las cuentitas, salvo error

\[\boxed{\omega=\int fds=\int_{0}^{2\pi}2\sin(2t)-2\sin^2tdt=-24\pi}\]

fisicamente el campo de velocidades propuesto frena a la particula

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3) supongo que el campo es F(x,y,z)

a) el dominio de ese campo es simplemente conexo, para saber si \[\nabla f=F\] verifica que la matriz jacobiana es simetrica, da que sí

b) como el campo es conservativo y la curva que se define de la intereseccion es cerrada, la circulacion es 0

c) como el camo es conservativo entonces \[\nabla f=F\] o sea existe una funcion potencial, y la circulacion no depende de la trayectoria, solo tenes que hallar dicha funcion f y finalmente

hacer

\[\omega =f(3,2,1)-f(1,1,2)\]

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4)

a) si impacta a la superficie entonces existe intersección , como r te la dan en forma vectorial, la interseccion sera

\[x^2+y^2=t^2\cos^2t+t^2\sin^2t=t^2=2\to \boxed{t=\sqrt{2}}\]

para obtener el punto de impacto solo hace \[r(\sqrt{2})\]

b) no creo que te presente inconvenientes

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el 1) banca que lo pienso

PD: de que profesor es este parcial ?

Gracias capo!! Saga!. El parcial es de la Universidad del Sur Bahia Blanca profesora Castro, yo estudio ahi. Muy buena explicación me lo voy a poner a realizar, si en el ejercicio 3 el campo es F(x,y,z) lo puse mal..

Despues voy a subir el recuperatorio de la segunda parte de la materia.

Saludos

Ah¡¡¡¡ mira vos, muy buen parcial, la verdad, de todo un poco tenia .

1a)
Para demostrar diefenciabilidad estudias la continuidad.
A mi me quedó F en dos partes

F(x,y)={yx con x>= 0 ^ y(-x) con x<0}

Si (x,y)=(2,1)
f(2,1)=2
Lim f(2,1)=2

Derivada por def Fx (2,1) = L [f(2+h,1) - f(2,1)] / h = Lim (2+h-2)/h = Lim h/h = 1
Derivada por def Fy (2,1) = Lim [f(2,1+h) - f(2,1)] / h = Lim 2(1+h)-2 / h = Lim 2h/h = 2

Gradiente F(2,1)=1+2 -> vector tg
Plano: x+2y+d=0
Plano: 2+2+d=0 -> d=0

Punto de la DevMax = Grad F(2,1) / |grad F(2,1)| = (1/raiz5, 2/raiz5)
Valor de la dev max (reemplazo el punto) = Grad F(2,1) x el punto de arriba

Con respecto a (x,y) = (0,0)
Acà tengo dudas pero para mì no existe Lìmite o si existe da 0, y las dev parciales 0 o sea vector tg:0 alguien lo confirma?
Gracias,

f(0,0)=0
Lim(x,y->0,0) de f(0,0) -> para x por 0+ -> Lim y . x = 0
---------------------------> para x por 0- -> Lim y . (-x) = -0

o....

Lim(x,y->x,0) de y|x| = 0 . |x| = 0 por acotado...