Hola
caro, respecto a la aplicación del teorema de la divergencia sobre superficies abiertas que estabamos hablando en este th
http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-teo...#pid279482
aprovecho tu resolucion y correcciones hechas para aplicar gauss a la "superficie abierta" segun el enunciado
Calcule el flujo de a travez de la superficie abierta de ecuacion \[S: z=4-x^2\] en el primer octante con \[z>y\] siendo \[f(x,y,z)=(x^2,yz,2xz)\]
primero calculamos el flujo directo por definicion parametrizando como
\[g:R^2\to R^3/g(x,y)=(x,y,4-x^2)\to n=(2x,0,1)\]
el flujo estara dado por
\[\omega=\iint _R fnds=\iint_Rf(g(x,y))ndydx=\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-x^2}8x dydx=32\]
ahora por divergencia
\[div f=4x+z\to \int_{0}^{2}\int_{0}^{4-x^2}\int_{0}^{z} 4x+z dydzdx=\frac{4288}{105}\]
por definicion
\[\iint_S+\iint_{S_1}+\iint_{S_2}+\iint_{S_3}=\iiint_V divf dV\]
entonces el flujo total sobre S se define como
\[\iint_S fds=\iint_V div f dV-\iint_{S_1}-\iint_{S_2}-\iint_{S_3}\]
defino las "tapas"
\[S_1: \left\{\begin{matrix}y=0 \\ z=4-x^2 \end{matrix}\right.\]
\[S_2: \left\{\begin{matrix}x=0 \\ z=y \end{matrix}\right.\]
\[S_3: \left\{\begin{matrix}y=z \\ z=4-x^2 \end{matrix}\right.\]
el flujo sobre las dos primeras tapas \[S_1, S_2\] es 0 o sea solo queda calcular el flujo sobre la tercera tapa, si parametrizamos como
\[g:R^2\to R^3/g(x,z)=(x,z,z)\to n=(0,-1,1)\\\\\mbox{ por regla de la mano derecha }\to n=(0,1,-1)\]
evaluando la restriccion en la parametrizacion obtenemos los limites de integración, finalmente
\[\omega_3=\iint_{R_3} fnds=\iint f(g(x,y))ndxdy=\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-x^2} z^2-2xz dzdx=\frac{928}{105}\]
luego
\[\iint_S fds=\underbrace{\iint_V div f dV}_{\frac{4288}{105}}-\underbrace{\iint_{S_1}}_0-\underbrace{\iint_{S_2}}_0-\underbrace{\iint_{S_3}}_{\frac{928}{105}}=32\]
como veras divergencia se puede aplicar, solo hay que definir bien las tapas, a veces no es tan simple pero......
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. Lo subo nada mas por Saga y sus excelentes aportes(entre otros) a esta materia. 
