El ejercicio va asi:
Siendo F la familia de curvas ortogonales a las lineas de nivel K de \[\Phi (xy) = x.y^{3}-x+5\]
Halle la ecuacion de la curva \[C\epsilon F\] que pasa por el punto (3,1)
No se ni como arrancar
(llamo g a esa función que pusiste ahi, solo por comodidad en notación)
\[g(x,y)=xy^3-x+5\]
Por definicion de curvas de nivel tenes que
\[g(x,y)=xy^3-x+5=k\]
por derivacion implicita obtenes
\[y^3+3xy^2y'-1=0\to y'=\frac{1-y^3}{3xy^2}\]
reemplaza
\[y'=-\frac{1}{y'}\]
hechos los pasajes necesarios, salvo error, tenes que integrar
\[-\int 3x dx=\int\frac{1-y^3}{y^2}dy\]
Joya! Gracias!!!!
Hice lo siguiente
\[-3x dx = (1-y^{3})/y^{2} dy\]
\[-\frac{3}{2}x^{2} + C = -2y^{-3} -1\] SG
La SP en (3,1) me dio
\[-\frac{3}{2}x^{2} + \frac{21}{2} = -2y^{-3} -1\]
Por si alguien la necesita
Creo que te equivocaste al integrar, la primitiva es
\[-\frac{3}{2}x^2=-\frac{y^2}{2}-\frac{1}{y}+C\]
evaluando en el punto C=-12, acomodando un poco los terminos, f esta definida implicitamente por
\[y^3-24y-3x^2y+2=0\]
Que dormido! Asi es como reprobe la semana pasada!
Gracias!!