UTNianos

Dados los subespacios de R^4:
\[S={(x,y,z,t)/ t=0 , x+y+z=0}\] y \[W=gen{(0,1,-1,0)(1,0,-1,0)(1,-1,0,0)}\]

Halle \[W\cap S\] y W+S. ¿Es S+W una suma directa?

Acá lo que me cuesta es hallar la interseccion. Si alguien me puede ayudar, mil gracias

Antes que nada tenes que obtener una base de W, si observas el vector del medio es combinacion lineal de los otros dos, por ende

\[B_W=\left \{ (0,1,-1,0)(1,-1,0,0) \right \}\to dim(W)=2\]

ahora observa que esos vectores verifican las ecuaciones de S por lo tanto, solo quedan los vectores de S, luego \[dim(S\cap W)=2\], y la \[dim(S)=2\]

por el teorema de las dimensiones

\[dim(S+W)=dim(W)+dim(S)-dim(S\cap W)=2+2-2=2\]

una base de la suma puede ser

\[B_{S+W}=\left \{ (1,0,-1,0)(0,1,-1,0) \right \}\]

como la interseccion es distinta del vector nulo entonces S+W no es directa

mil gracias sagaaa!