UTNianos

Buenas,
Estoy estudiando el teme de Polinomio de Taylor pero no entiendo porque en la definición:
"Si n≥0 es un entero y f una función que es derivable veces en el intervalo cerrado [a,x] y n+1 veces en el intervalo abierto (a,x), entonces se cumple que:

Se coloca (x-a) que es lo que se quiere decir(matematica o geometricamente) cuando colocamos eso?
Lo que pasa es que entiendo la definicion del Polinomio de Taylor cuando a=0, es decir del Polinomio de McLaurin, pero cuando aes diferente de 0 me pierdo. Alguien me lo podría explicar por favor, o por lo menos decirme donde encontrar información al respecto? Gracias!

Off-topic:: No tengo idea del tema, pero te felicito por ser el primero en crear un topic usando la biblioteca. Por cierto, que haces estudiando en esta epoca del año??

Lee del libro del Venturini o el Larson

(30-12-2012 18:45)alfred_oh escribió: [ -> ]Buenas,
Estoy estudiando el teme de Polinomio de Taylor pero no entiendo porque en la definición:
"Si n≥0 es un entero y f una función que es derivable veces en el intervalo cerrado [a,x] y n+1 veces en el intervalo abierto (a,x), entonces se cumple que:

Se coloca (x-a) que es lo que se quiere decir(matematica o geometricamente) cuando colocamos eso?
Lo que pasa es que entiendo la definicion del Polinomio de Taylor cuando a=0, es decir del Polinomio de McLaurin, pero cuando aes diferente de 0 me pierdo. Alguien me lo podría explicar por favor, o por lo menos decirme donde encontrar información al respecto? Gracias!

"a" es el entorno. Cuando estudiaste limites estudiaste lo que son los entornos abiertos y cerrados los cuales definían los limites finitos e infinitos con variable finita e infinita. El (x - a) determina ese intervalo, que si te acordas tiene la forma de "\[\varsigma \]" (algo asi es como una p en espejo). Cuando el intervalo es "X" (es decir con a = 0), se lo conoce como MacLaurin. Pero básicamente es el Polinomio de Taylor. Igual en la cursada no te explican de donde sale el Polinomio de Taylor, simplemente te explican para que se usa y te muestran sus aplicaciones practicas. Si es para saber mas o para tener mas cultura como dicen arriba leete esos libros.

Gracias! A ver si lo he entendido:
De lo que se trata es buscar el Polinomio de Taylor para la función f(x) en el punto x=a. Eso sería lo mismo que buscar el polinomio de McLaurin de tal manera que nuestra f(x)=g(x-a) no? Por lo tanto el Polinomio de McLaurin en funcion de g(x-a) quedaría

Luego colocando este polinomio en función de f, es decir f(x+a)=g(x+a-a)=g(x) y sabiendo que f se tiene que evaluar teniendo en cuenta que x=0 pues estamos en el Polinomio de McLaurin:

Podrías confirmarmelo porfa? Gracias por la explicacion y por el tiempo =) Feliz Año!

"a" NO es el entorno, "a" es el punto donde vos querés desarrollar el Polinomio del Taylor.

La definición exacta no la recuerdo, pero la movida es más o menos así:

El Polinomio de Taylor es una serie de potencias que converge al mismo punto que la función que vos estás (ese punto que te digo sería la imagen de la función) queriendo estudiar en un entorno de ese punto "a" (y este punto a sería un punto del dominio) en la que vos la estás estudiando. Es decir dentro de la vecindad/entorno (en los alrededores) del punto "a" la función y el polinomio de Taylor se comportan de la misma forma, es como cuando hacés aproximación lineal de una función, lo mismo, pero en este caso aproximás con un polinomio.

Es importante el concepto de entorno, porque fuera del entorno, el polinomio y la función no se comportan de la misma forma.

El caso de McLaurin es lo mismo, sólo que ese punto "a" es el origen. Por eso cuando lo expresás parece que no lo ponés, pero claramente se ve que x - a = x cuando a = 0.

Como caso anecdótico, si estudiás Electrónica, eventualmente verás otras series que se llaman de Laurent, que son como las de Taylor, pero en lugar de comportarse de la misma forma que la función dentro de la vecindad, lo hacen fuera, es como si vos te pararas en un punto a del dominio de la función, y marcando un entorno a dicho punto (un intervalo) podrías decir que existen dos series que aproximan a la función, dentro de dicho entorno, la de Taylor y fuera del mismo la de Laurent

(30-12-2012 23:36)chimaira escribió: [ -> ]"a" NO es el entorno, "a" es el punto donde vos querés desarrollar el Polinomio del Taylor.

Me exprese mal, lo que quise decir (que e slo que vos decis) es que "a" es el punto central del entorno. Es decir vos estudias a la funcion a la derecha e izquerda de ese punto.

(30-12-2012 23:36)chimaira escribió: [ -> ]"a" NO es el entorno, "a" es el punto donde vos querés desarrollar el Polinomio del Taylor.

La definición exacta no la recuerdo, pero la movida es más o menos así:

El Polinomio de Taylor es una serie de potencias que converge al mismo punto que la función que vos estás (ese punto que te digo sería la imagen de la función) queriendo estudiar en un entorno de ese punto "a" (y este punto a sería un punto del dominio) en la que vos la estás estudiando. Es decir dentro de la vecindad/entorno (en los alrededores) del punto "a" la función y el polinomio de Taylor se comportan de la misma forma, es como cuando hacés aproximación lineal de una función, lo mismo, pero en este caso aproximás con un polinomio.

Es importante el concepto de entorno, porque fuera del entorno, el polinomio y la función no se comportan de la misma forma.

El caso de McLaurin es lo mismo, sólo que ese punto "a" es el origen. Por eso cuando lo expresás parece que no lo ponés, pero claramente se ve que x - a = x cuando a = 0.

Como caso anecdótico, si estudiás Electrónica, eventualmente verás otras series que se llaman de Laurent, que son como las de Taylor, pero en lugar de comportarse de la misma forma que la función dentro de la vecindad, lo hacen fuera, es como si vos te pararas en un punto a del dominio de la función, y marcando un entorno a dicho punto (un intervalo) podrías decir que existen dos series que aproximan a la función, dentro de dicho entorno, la de Taylor y fuera del mismo la de Laurent

Gracias por la explicación, poco a poco voy entendiendo el polinomio de Taylor. Tu y el otro amigo mencionan mucho el hecho de que el polinomio de Taylor se acerca mucho a una función en un entorno de centro a que se indica con (x-a). Si no me equivoco un entorno de a es un intervalo abierto que contenga a no? Entonces como denotas este intervalo con (x-a), (x-a) no es un punto? Gracias!

(31-12-2012 09:02)alfred_oh escribió: [ -> ]Gracias por la explicación, poco a poco voy entendiendo el polinomio de Taylor. Tu y el otro amigo mencionan mucho el hecho de que el polinomio de Taylor se acerca mucho a una función en un entorno de centro a que se indica con (x-a). Si no me equivoco un entorno de a es un intervalo abierto que contenga a no? Entonces como denotas este intervalo con (x-a), (x-a) no es un punto? Gracias!

Es que el hecho de que el Polinomio aproxime a la función en un entorno de ese punto, es el chiste de todo esto xD

Pensá que es mucho más sencillo trabajar con un polinomio, por todas las bondades que ellos tienen, que trabajar con una función mucho más complicada y difícil de estudiar...

Por eso la clave está en el entorno, porque vos sólo podés asumir que la función y el polinomio son "casi iguales" en un entorno reducido del mismo, pero no fuera de él, porque fuera de éste la convergencia del polinomio no coincide con los valores que toma la función.

Si buscás imágenes por google vas a ver distintas funciones aproximadas por polinomios de diferente orden, cuanto mayor sea el orden del polinomio, mejor es la aproximación.

Pensá en lo siguiente, ponele que vos tenés una función que sea f(x) = x y otra que sea g(x) = x^3, una no tiene nada que ver con la otra, pero cerca del origen de coordenadas, las funciones son muy parecidas, si las mirás con un poco de cariño... A grandes rasgos, cuando vos hallás el Polinomio de Taylor lo que hacés es algo parecido.

Respecto de la pregunta sobre como denotar el intervalo, generalmente cuando uno resuelve ejercicios de este estilo creo que no hacía tal cosa, pero de todas formas, el intervalo es infinitesimal, no es que uno puede aproximar, por decir algo y suponiendo que el centro está en x=3, desde x=0 hasta x=6

Volviendo a como escribirlo podrías poner algo así:
El conjunto de puntos para los cuales el polinomio aproxima a la función es igual a (en notación de conjuntos)

\[\mathbf{S = \left \{ x\epsilon\mathbb{R} / |x-a| < \delta\right \}}\]
donde
d es el radio infinitesimal del intervalo
a es el centro de dicho intervalo

Fijate que como bien decís vos es un intervalo a abierto, pero que es igual a (a-d , a+d).

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