(27-01-2013 17:36)masii_bogado escribió: [ -> ]Holaa gente , tengo mucho problema con los ejercicios de superficies.
Me podrían dar una mano con este ejercicio de final , por fa.
Halle todos los valores de , A , B , K PERTENECIENTES a Reales, si existen , tales que que la sup. sea un paraboloide cuyo vértice sea el punto V (1 , -2,-3) y cuya intersección con el plano z = 0 sea una elipse de semieje focal paralelo al eje x de longitud 4 y semieje menor de longitud 2.
Hace mucho tiempo ya que cursé Álgebra, pero como nadie respondió hasta el momento, veré si puedo ayudarte, con lo que recuerdo.
El primer dato importante que tenés es la ubicación del vértice que junto con el dato de que la intersección con el eje Z = 0 obtenés una elipse, podés aventurarte a decir que el paraboloide crece, o se abre hacia arriba. A lo que me refiero es que por debajo del vértice no vas a tener nada, y por encima del vértice va a crecer la superficie que estás buscando.
La ecuación de una elipse en dos dimensiones era, si no mal recuerdo
\[{(\frac{x}{a})}^{2}+{(\frac{y}{b})}^{2}=1\]
Teniendo esto en cuenta, y sabiendo que cuando Z = 0 tenés que tener una elipse desplazada, porque el centro está en donde está ubicado el vértice del paraboloide, es decir en x = 1 y y = -2, obviando la coordenada z, lo que deberías hacer es expresar la elipse con el desplazamiento correspondiente, esto quedaría así
\[{(\frac{x-1}{a})}^{2}+{(\frac{y+2}{b})}^{2}=1\]
Volviendo a las tres dimensiones, la ecuación del paraboloide era así, al menos la más básica
\[x^2 + y^2 = z\]
Pero la tuya tiene que satisfacer las condiciones que te plantearon, además del desplazamiento del vértice del origen hasta el punto (1,-2,-3), con lo cual creo que sería algo así
\[{(\frac{x-1}{a})}^{2}+{(\frac{y+2}{b})}^{2}=(z+3)\]
Fijate que para números menores a Z = -3, tenés que la suma de dos cuadrados te da un número negativo, cosa que es absurda, lo que implica que no estaría teniendo nada por debajo de ese punto...
Ahora para Z = 0, vos tenés que obtener una elipse con las características de los semiejes que te dieron, entonces reemplazando en la ecuación de recién tenés
\[{(\frac{x-1}{a})}^{2}+{(\frac{y+2}{b})}^{2}=3\]
\[\frac{{(\frac{x-1}{a})}^{2}+{(\frac{y+2}{b})}^{2}}{3}=1\]
\[{(\frac{x-1}{a/9})}^{2}+{(\frac{y+2}{b/9})}^{2}=1\]
Y de acá creo que
\[{(\frac{a}{9})}^2 = 4\]
\[{(\frac{b}{9})}^2 = 2\]
Estas serían las condiciones que te imponen para los semiejes. Resolviendo esas ecuaciones, deberías llegar a la ecuación del paraboloide que estás buscando.
Creo que se resolvían así estos ejercicios, aunque puedo estar mandando terrible fruta jejejej Espero que alguien pueda corroborar lo que yo digo, y confirmar si está bien, o refutarme si estoy equivocado.
De cualquiera de los dos modos, espero te sea de utilidad.
Saludos, y suerte!