UTNianos

Bueno mi duda es la siguiente, en este ejercicio:

Probar o refutar el valor de verdad de cada una de la siguiente proposicion sabiendo que A,B,C c U (la "c" es de contenido)

Ax(B U C) = (A x B) U (A x C)

yo se que la "x" es de producto cartesiano, pero no se que hay que hacer en este tipo de ejercicios.

Probar usando inducción matemática si los siguientes enunciados son válidos: (en el a) quiero saber si esta bien lo que hice y en el b) nececito ayuda )

a)\[\sum_{i=1}^{n} i(2^{i-1})= 1 -(n-1)2^{n}\]

1º) n= 1

\[1(2^{1-1})= 1 -(1-1)2^{1}\]
1 = 1
\[\therefore V\]

2º)HI) n=h

\[\sum_{i=1}^{h} i(2^{i-1})= 1 -(h-1)2^{h}=1-2^{h}*h +2^{h}\]

3º) TI) n= h+1

\[\sum_{i=1}^{h+1} i(2^{i-1})= 1 -(h+1-1)2^{h+1}=1 -2^{h+1}*h\]

D)
\[\sum_{i=1}^{h+1} i(2^{i-1})= \sum_{i=1}^{h} i(2^{i-1})+(h+1)(2^{h+1-1})= 1-2^{h}*h +2^{h}+(h+1)*2^{h}= 1-2^{h}*h +2^{h}+2^{h}*h+2^{h}=1+2*2^{h}=1+2^{h+1}\therefore F\]


b)\[\frac{1}{2^{2}-1}+ \frac{1}{3^{2}-1}+.......+ \frac{1}{(n+1)^{2}-1}= \frac{3}{4}-\frac{1}{2(n+1)}-\frac{1}{2(n+2)}\]

Primero lo pase a sumatoria

\[\sum_{i=1}^{h} \frac{1}{(i+2)^{2}-1}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2(n+1)}-\frac{1}{2(n+2)}\]

1º)n=1

\[\frac{1}{3}= \frac{1}{3} \therefore V\]

2º)HI)n=h

\[\sum_{i=1}^{h} \frac{1}{(i+2)^{2}-1}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2(h+1)}-\frac{1}{2(h+2)}= \frac{3}{4}-\frac{1}{2h+2}-\frac{1}{2h+4}\]

3º)TI)n=h+1

\[\sum_{i=1}^{h+1} \frac{1}{(i+2)^{2}-1}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2(h+1+1)}-\frac{1}{2(h+1+2)}= \frac{3}{4}-\frac{1}{2h+4}-\frac{1}{2h+6}\]


d)en esta parte no estoy seguro, porque saque común denominador en los resultados del paso 1º y 2º y al hacer el procedimiento me da como F y sin usar denominador común no se me ocurre como hacerlo

Si alguien me puede ayudar se agradece mucho

Cita:Ax(B U C) = (A x B) U (A x C)

yo se que la "x" es de producto cartesiano, pero no se que hay que hacer en este tipo de ejercicios.

En este tenes que bajar al nivel de la lógica usando las definicones de prod. cartesiano y conjuntos...

podes empezar diciendo sea (x,y)∈ Ax(B U C) ===> x ∈ A "y" y ∈ (B U C) ====> x ∈ A "y"( y ∈ B "o" y ∈ C ) =====>(distributiva y asociativa) (x ∈ A "y" y ∈ B ) " o " (X ∈ A "y" y ∈ C)===>por def de prod cartesiano (x,y) ∈ (AxB) " o " (x,y) ∈ (AxC) =====> ( def de union) (x,y) ∈ (AxB) U (AxC)
Con eso probas el primer incluye, te falta el otro(porque es una igualdad) se incluyen mutuamente.

El a) lo hice y me dio lo mismo

en el b) me parece que agregaste un 2 y iba un 1, cuando cambias de la forma de sumas al símbolo de sumatoria, pasas de n+1 y te queda i+2
Intente hacerlo pero me hice despelote con los denominadores también

Gracias che, si tenes razon lo copie mal a esa parte