17-02-2013, 16:09
Estaba haciendo un ejercicio de final, y como no tengo las soluciones quería saber si lo había encaminado bien. Dice:
Dada la transformación lineal T: R2 -> R2 / -1 y 4 son autovalores de T asociados a los autovectores (3,-1) y (2,0) respectivamente, determine justificando, si existe una única transformación lineal que cumpla con los datos indicados.
¿T es diagonalizable? En caso afirmativo halle una matriz A y otra diagonal D, distintas, semejantes entre si y ambas asociadas a T.
Yo lo que hice fue lo siguiente...
\[\begin{pmatrix}a+1 & b \\ c & d+1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\]
\[\begin{pmatrix}a-4 & b \\ c & d-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\]
De estos dos planteos saco:
\[a = 4, b = 15, c = 0, d = -1\]
Entonces puedo decir que esta es la matriz de mi transformación lineal, y es única.
\[\begin{pmatrix}4 & 15 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]
Ahora a la matriz de la TL le resto la identidad * lamda y hago el determinante igual a 0.
Los autovalores me dan -1 y 4 efectivamente y las multiplicidades geométricas son iguales que las algebraicas, por ende es diagonalizable.
Luego armo P con la matriz de los autovectores y D sería la de los autovalores.
¿Está bien planteado o hay otro camino más fácil?
Gracias
Dada la transformación lineal T: R2 -> R2 / -1 y 4 son autovalores de T asociados a los autovectores (3,-1) y (2,0) respectivamente, determine justificando, si existe una única transformación lineal que cumpla con los datos indicados.
¿T es diagonalizable? En caso afirmativo halle una matriz A y otra diagonal D, distintas, semejantes entre si y ambas asociadas a T.
Yo lo que hice fue lo siguiente...
\[\begin{pmatrix}a+1 & b \\ c & d+1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\]
\[\begin{pmatrix}a-4 & b \\ c & d-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\]
De estos dos planteos saco:
\[a = 4, b = 15, c = 0, d = -1\]
Entonces puedo decir que esta es la matriz de mi transformación lineal, y es única.
\[\begin{pmatrix}4 & 15 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]
Ahora a la matriz de la TL le resto la identidad * lamda y hago el determinante igual a 0.
Los autovalores me dan -1 y 4 efectivamente y las multiplicidades geométricas son iguales que las algebraicas, por ende es diagonalizable.
Luego armo P con la matriz de los autovectores y D sería la de los autovalores.
¿Está bien planteado o hay otro camino más fácil?
Gracias
