UTNianos

Buenas

Resulta que estoy con el ejercicio 3.3 del TP 2 de la guia de discreta (buscado y no encontrado en el foro).
Si bien parece sencillo me doy cuenta que no tengo las herramientas... aca el ejercicio:

\[Sean\] \[A\] \[y\] \[B\] \[dos\] \[conjuntos\] \[y\] \[R \subseteq A\times B\] , \[S \subseteq A\times B\] \[probar\] \[la\] \[validez\] \[de:\]

\[R \subseteq S \Rightarrow R^{-1} \subseteq S^{-1}\]



En el libro de la catedra esta la siguiente resolucion al problema:

\[Sea\] \[(y,x) \epsilon R^{-1} \Rightarrow (x,y) \epsilon R \Rightarrow (x,y) \epsilon S \Rightarrow (y,x) \epsilon S^{-1}\]

Pero no explica los pasos y no lo entiendo, ademas de que ya parece que arranca del consecuente (\[R^{-1}\])


Muchas Gracias

ya que estoy respondo aca también.

La resolución está bien y en detalle seria algo asi.

Paso 1:

Sea un elemento (y,x) cualquiera, que pertenece a "R-1". ( mas detalle: con y perteneceinte a "B" y x perteneceiten a "A")


Paso 2
Por logica de la Relacion inversa, si el elemento (y,x) pertenece a "R-1" entonces el elemento de la forma (x,y) pertenece a R

Paso 3: (uso del antecedente)
Este elemento (x,y) al estar includio en R, tambien lo está en S. (porque suponemos que el antecedente es verdadero )

Paso 4: (deduccion final)
Por logica de la Relacion inversa, si el elemento (x,y) que pertenece a S quiere decir que (y,x) pertenece a S-1

Listo.
Esto quiere decir que cualquier elemento que pertenezca al conjunto R-1, va a estar tambiéen en el S-1, siempre y cuando R este incluido de S


EDIT: cuando invierte los elementos (x,y) a (y,x) podes aclarar como justificación que este paso es valido por definición de la Relacion inversa