UTNianos

Hola!!
tengo una gran duda respecto a calcular volumenes cuando la proyeccion sobre el plano xy es un circulo "desplazado".
un ejercicio de parcial pedia esto:
calcular el volumen del cuerpo definido por (x^2 + y^2) < z < 2x

se trata de un paraboloide circular (el bol de cocina) con un techo que es el plano z = 2x
ahora cuando calculo la proyeccion de este cuerpo sobre el plano xy me da esta curva:
x^2 + y^2 = 2x el cual es un circulo de radio 1, desplazado en +1 en el eje x.
COMO ARMO LOS LIMITES DE INTEGRACION DE ESTO?? :s:s:s

pasando a coordenadas cilindricas me queda que (0< P < 2cos S) siendo "P" el radio, y "S" el angulo
pero la integral triple me da negativa!!! un volumen no puedo dar negativo, algo anda mal.
como lo solucionarian???

problema parecido:
calcule el area de la region: (x-1)^2 + y^2 < 1 mediante integral doble.
es el mismo problema pero en 2d
alguien que sea groso en analisis 2 por favor!! XD

se agradece muchiisimo

Buenas, yo tambien estoy medio en bolas con AN2 y eso que trato de meterle pero cuesta !

Si probas con coord. esfericas?

\[x = \rho cos \Theta; 0<\Theta<2\pi\]
\[y = \rho sen \Theta; 0<\rho<1\]
\[z = z; \rho^2< z < 2\rho cos \Theta\]

Los ejers de la guia me vuelven locoooo, si te llego a dar bien de alguna forma chifla como lo hiciste!

El otro ejer el techo tambien es z<2x?

Tendrias que integrar doblemente a z=2x en el plano xy, pasandolo a cilindricas.
El angulo de Theta fijate bien que no va de 0 a 2pi, y ro tampco va de 0 a 1
\[x = \rho cos \Theta\]
\[y = \rho sen \Theta\]

No se si es correcto pero yo lo encararia por ahi mas o menos, igual casi siempre le pifio peeeeero quien te dice...

Con que profesora cursas?

Saludos

No recuerdo el metodo exacto... pero estoy 99% seguro de que tenes que calcularlo con coordenadas esfericas.
Si la figura es practicamente una semi-esfera, te recomiendo probar con eso. Y si tenes el flax a mano (yo no lo tengo en este momento), hay una parte donde explica bien como elegir las coordenadas.

No se si te fui muy util!
saludos!

las esfericas no son asi, y ademas este ejericio de volumen no involucra esferas.
es un paraboloide, les cuento como lo resolvi.

ejercicio: calcular el volumen del cuerpo dado por x^2 + y^2 < z < 2x

bueno primero un grafico:


primero tenemos que ver cual es la sombra de nuestro cuerpo sobre el plano xy. Para esto tenemos que saber cual es la curva de interseccion de las 2 superficies que nos dan. entonces planteamos:
\[z = x^2 + y^2\]
\[z = 2x\]

para saber cual es la proyeccion sobre el plano xy debemos eliminar del sistema la variable z.
esto lo hacemos igualando ambas expresiones:

\[x^2 + y^2 = 2x\]

completando cuadrados nos queda la curva:
\[(x^2-1) + y^2 = 1\]

esta es la curva que nuestro cuerpo proyecta en el plano xy, por lo tanto sera nuestra region de integracion en el plano xy.
ahora plantiemos la integral triple que nos permite calcular el volumen de este cuerpo.
en coordenadas cilindricas:
\[x = \rho cos \theta + 1\]
\[y = \rho sen \theta\]
\[z = z\]

ahora describamos nuestro cuerpo en estas coordenadas:
\[{-\pi \over 2} < \theta < {\pi \over 2}\]

\[0 < \rho < 1\]
\[\rho^2 < z < 2 \rho cos \theta\]


ahora si planteamos la integral triple

\[\int_{\frac {-\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{1} \rho \cdot d\rho \int_{\rho^2}^{2\rho cos \theta} dz\]

toda esta integral me dio (4/3) - (pi/4)

nota: el truco estaba en tomar la coordenada cilindrica x = pcos + 1 el +1 era el truco
yo lo tomaba como x = pcos y por eso se me re complicaba.

pero ahi dio (creo)

Buenisimo che!

Con que programa hiciste el dibujo de la interseccion? y cual seria el codigo para que te de la interseccion?

Gracias!

el programa q usó yo tmb lo tengo..esta buenisimo
es el Derive 6.. creo, bajalo de
http://rapidshare.com/files/28889810/der..._del_5.rar

Saludos..

che me quedo una duda, respecto a tita... va desde -pi/2 a pi/2??,
no?


acuerdense q las coord esfericas se usan solo cdo hay esferas..jaja

Gracias por el prog!

Otra mas, el codigo para hacer la interseccion como seria? algun ejemplo...?

Te agradezco,

saludos!

yo odio el derive, solo lo uso para dibujar algunas superficies raras, pero despues siempre me hace el re bardo.
ni siquiera se pueden graficar cilindros onda, x^2 + y^2 = 1, no se lo banca. solo lo uso para orientarme a veces.
y nose si te da la curva de interseccion, lo dudo.
el que me gusta es el garphmatica, pero es en 2d nomas

Che pero el dibujo que hiciste orienta bastante, como es el codigo que hay que poner para que te de la interseccion
:???:

Gracias

no es ningun codigo, te bajas el programa derive (el mio es el 6) y lo unico que haces es tocar el botoncito que dice ventana 3D, abajo escribis las ecuaciones de las superficies que queres dibujar, le das al boton REPRESENTAR GRAFICA, y te lo dibuja. asi de facil cualquier cosa avisa ;)