04-03-2013, 02:30
(04-03-2013 01:48)fedee90 escribió: [ -> ](04-03-2013 01:39)feder escribió: [ -> ](04-03-2013 00:25)xarhakos escribió: [ -> ]En realidad \[A^{100} = D^{100}\] me parece que no es correcto, la manera correcta de hacer las potencias de matrices es algo asi como la siguiente.
Primero hallas la matriz diagonal D (que se compone por los autovalores y NO los autovectores, guarda con eso).
Luego, tenes que hallar la matriz P, y \[P^{-1}\],
luego sabemos que \[D = P^{-1} A P\],
operando llegas a que \[A = P D P^{-1}\],
y se demuestra que: \[A^{n} = P D^{n} P^{-1}\]
La potenciacion de una matriz diagonal es algo trivial, simplemente potencias las diagonales.
Pero claro, tenes que hacer la multiplicacion completa de \[P D^{n} P^{-1}\]
(que obviamente es mucho mas facil que multiplicar 100 o mil veces una matriz por si misma).
Bueno, ese es el procedimiento, de ahi que me llamo la atención que te den b=1, porque, como dije antes, con b=1 quedan forzados los autovalores que ya hallamos en el 4a), por consiguiente a debe ser = -2 para que A resulte diagonalizable y se pueda realizar todo el procedimiento que describí recien., Luego, no podriamos probar lo que nos pide el enunciado ya que dice "para todo a", y con b=1 ya quedó particularizado para a=-2. Y ahi esta el problema xD
Si alguien hechar un poco de luz bienvenido sea.
(por cierto, hice la prueba haciendo de cuenta que el enunciado 4b) dijera b=0 y ahí sí tiene sentido)
yo lo que plantee, y por la nota que me saque, creo que esta bien lo que puse... para que cumpla eso, es evidente que A^100 tiene que ser I, entonces SÍ vale que A^100=D^100 porque se tiene que cumplir que A^100=PD^100P^-1... o sea, D^100 tiene que ser I, asi se cancela y te queda P P^-1 = I entonces nos queda A^100 = I que es lo que tiene que pasar. Pero si b=1, los autovalores creo que eran 1, -3 y 4 (no me acuerdo bien), por lo que D sería: \[\begin{pmatrix}-3 & 0 & 0\\ 0& 1 &0 \\ 0&0 & 4\end{pmatrix}\] y al elevarla a la 100, te quedan esos numeros a la 100 y lejos esta de darte la matriz identidad, porque -3^100 o 4^100 no da 1
Ahora hago el de complejos, estudie tanto algebra que puedo dar clases na mentira, ahora lo voy haciendo
Ojo.. que A sea diagonalizable, no significa que A^100 = D^100 ... son semejantes, eso significa que si multiplicas P^(-1).D^(100).P = A^(100)
Fijate en este ejemplo.\[A=\begin{pmatrix}1 &1 \\ 1& 1\end{pmatrix}\]. Su matriz diagonal es \[D=\begin{pmatrix}0 &0 \\ 0& 2\end{pmatrix}\]
Pero \[A^{6} \neq D^6\] , en cambio cumple \[A^{6} = P^{-1}.D^6.P\]
si, pero en el caso que vos pones A^6 no es la matriz identidad