Este es un ejercicio del final que tomaron el 18... y me da otra cosa a la que publicaron...
Sabiendo que S1= {x y / x+y+z=0 y x+y+w=0} y S2= { x y / x+y+z+w=0} son subespacios de
z w z w
R2x2, encuentre una base y una dimension del subespacio S1 interseccion S2. La suma S1 + S2 es directa?
A ver... lo resuelvo por como lo entiendo a lo que escribiste:
\[S_1 = A \in R^{2x2} / x+y+z=0 , x+y+w=0\]
\[S_2 = B \in R^{2x2} / x+y+z+w=0\]
Primero hallás la intersección de S1 con S2. Te queda:
\[\left\{\begin{matrix}x &+y &+z & &=0 \\ x &+y & &+w &=0 \\ x &+y &+z &+w &=0 \end{matrix}\right.\]
Resolviendo el sistema te queda: \[x=-y, z=w=0 \rightarrow (-y,y,0,0) = y(-1,1,0,0)\]
Entonces \[(S_{1}\cap S_{2})= A \in R^{2x2} / x=-y , z=w=0 \]
\[[S_{1}\cap S_{2}] = <(-1,1,0,0)> \leftarrow BASE\]
\[DIM (S_{1}\cap S_{2})=1\]
Ahora, para que la suma de los dos subespacios sea directa, se tiene que cumplir que \[DIM (S_{1}\cap S_{2})=0\]
Como \[DIM (S_{1}\cap S_{2}) \neq 0 \rightarrow\] La suma no es directa
Claro ahora lo entendi, estaba resolviendo mal el sistema y me daba q la Dimensión era = 2... pero ya volvi a rehacer y me salio... gracias por sacarme las dudas