05-03-2013, 21:21
21-10-2013, 03:43
P1) despejando k obtenemos
\[k=xy\]
por derivacion implicita
\[y+xy'=0\]
despejando y' luego haciendo el cambio y'=-1/y' finalmente integrando.. obtenemos la familia \[\boxed{\boxed{y^2-x^2=C}}\]
P2a) es simple observar que la curva corresponde a la ecuacion de una recta , escrita de forma vectorial tenemos
\[g:R\to R^3/g(x)=(x,x,2x)\]
la circulacion estara dada por
\[\omega=\int_C fds=\int_a^b f(g(x))\cdot g'(x)dx\]
luego
\[\boxed{\boxed{\omega=\int_0^16x^2+8x=6}}\]
C1 si V es campo de gradientes entonces , se cumple que el campo es simplemente conexo (lo cual se observa facilmente) y ademas la matriz jacobiana asociada es simetrica ...
\[D_V=\begin{pmatrix}0 & z & y\\ z & 0 & x\\ y & x & 2\end{pmatrix}\]
entonces existe una funcion escalar \[\phi\] tal que \[\omega=\phi(B)-\phi (A)\] aplicando la definicion
\[\nabla\phi=V\to \boxed{\boxed{\phi(x,y,z)=yxz+z^2+K}}\]
obtenemos dicha funcion, luego se verificamos que
\[\boxed{\boxed{\omega=\phi(1,1,2)-\phi(0,0,0)=6}}\]
P3) lo hacemos por definicion... solo nos piden el flujo a travez del paraboloide , entonces defino
\[z=x^2+y^2\quad \mbox{con}\quad z\leq 4\]
parametrizo y expreso de forma vectorial
\[g:R^2\to R^3/ g(x,y)=(x,y,x^2+y^2)\]
por definicion
\[\varphi=\iint fnds\]
donde la normal (n) sera el producto vectorial de los vectores elementales de g
\[n=g_x\times g_y=(-2x,-2y,1)\]
es entrante....lo puedo dejar asi, pero para verificar el teorema de la divergencia (si lo pidiesen) tomo la normal saliente
\[n=(2x,2y,-1)\]
luego
\[\varphi=\iint fnds=\iint f(g)n ds=\iint (x,3y,x^3+y^2x)\cdot (2x,2y,-1)dxdy\]
\[=\iint 2x^2+6y^2-x^3-y^2x dydx\]
tomando coordenadas polares para los limites de integracion, y con la restriccion al primer octante obtengo
\[\varphi=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^2 (2r^2cos^2t+6r^2\sin^2t-r^3\cos^3t-r^2\sin^2t*r\cos t)* rdrdt\]
de donde
\[\boxed{\boxed{\varphi=8\pi-\frac{32}{5}}}\]
si nos piden que verifiquemos la divergencia entonces
\[\varphi=\iint fnds=\iiint_V div f dV-\iint_C fn dS\]
en coordenadas cilindricas la divergencia sera
\[\iiint_V div f dV=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}\int_{r^2}^{4} 4r+r^2 cos\theta dzdrd\theta=\frac{64}{15}+8\pi\]
C esta definida como
\[C: \left\{\begin{matrix}z=4\\ x^2+y^2=4 \end{matrix}\right.\]
escrita de forma vectorial C esta expresada por
\[g:R^2\to R^3/ g(r,t)=(r\cos t,r\sin t,4)\]
la normal (saliente) es el producto vectorial de los elementales
\[n=(0,0,r)\]
luego
\[\iint_C fn dS=\iint_C f(g(r,t))ndS=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}4r^2\cos t drdt=\frac{32}{3}\]
finalmente observamos que se verifica el teorema de la divergencia
\[\iint fnds=\iiint_V div f dV-\iint_C fndS=\frac{64}{15}+8\pi-\frac{32}{3}=\boxed{\boxed{8\pi-\frac{32}{5}}}\]
P4) es claro que no es continua basta tomar uno de los iterados y la curva y=x, con el primero da 0, con el segundo 1.... la funcion no es continua en el origen
C2) si es diferenciable f es clase 1 se cumple entonces que es continua, derivable en toda direccion , existen las parciales, y el error de la definicion de la diferenciabilidad es igual a 0... basta que
alguno de los items anteriores falle, para afirmar que f no es diferenciable
\[k=xy\]
por derivacion implicita
\[y+xy'=0\]
despejando y' luego haciendo el cambio y'=-1/y' finalmente integrando.. obtenemos la familia \[\boxed{\boxed{y^2-x^2=C}}\]
P2a) es simple observar que la curva corresponde a la ecuacion de una recta , escrita de forma vectorial tenemos
\[g:R\to R^3/g(x)=(x,x,2x)\]
la circulacion estara dada por
\[\omega=\int_C fds=\int_a^b f(g(x))\cdot g'(x)dx\]
luego
\[\boxed{\boxed{\omega=\int_0^16x^2+8x=6}}\]
C1 si V es campo de gradientes entonces , se cumple que el campo es simplemente conexo (lo cual se observa facilmente) y ademas la matriz jacobiana asociada es simetrica ...
\[D_V=\begin{pmatrix}0 & z & y\\ z & 0 & x\\ y & x & 2\end{pmatrix}\]
entonces existe una funcion escalar \[\phi\] tal que \[\omega=\phi(B)-\phi (A)\] aplicando la definicion
\[\nabla\phi=V\to \boxed{\boxed{\phi(x,y,z)=yxz+z^2+K}}\]
obtenemos dicha funcion, luego se verificamos que
\[\boxed{\boxed{\omega=\phi(1,1,2)-\phi(0,0,0)=6}}\]
P3) lo hacemos por definicion... solo nos piden el flujo a travez del paraboloide , entonces defino
\[z=x^2+y^2\quad \mbox{con}\quad z\leq 4\]
parametrizo y expreso de forma vectorial
\[g:R^2\to R^3/ g(x,y)=(x,y,x^2+y^2)\]
por definicion
\[\varphi=\iint fnds\]
donde la normal (n) sera el producto vectorial de los vectores elementales de g
\[n=g_x\times g_y=(-2x,-2y,1)\]
es entrante....lo puedo dejar asi, pero para verificar el teorema de la divergencia (si lo pidiesen) tomo la normal saliente
\[n=(2x,2y,-1)\]
luego
\[\varphi=\iint fnds=\iint f(g)n ds=\iint (x,3y,x^3+y^2x)\cdot (2x,2y,-1)dxdy\]
\[=\iint 2x^2+6y^2-x^3-y^2x dydx\]
tomando coordenadas polares para los limites de integracion, y con la restriccion al primer octante obtengo
\[\varphi=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^2 (2r^2cos^2t+6r^2\sin^2t-r^3\cos^3t-r^2\sin^2t*r\cos t)* rdrdt\]
de donde
\[\boxed{\boxed{\varphi=8\pi-\frac{32}{5}}}\]
si nos piden que verifiquemos la divergencia entonces
\[\varphi=\iint fnds=\iiint_V div f dV-\iint_C fn dS\]
en coordenadas cilindricas la divergencia sera
\[\iiint_V div f dV=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}\int_{r^2}^{4} 4r+r^2 cos\theta dzdrd\theta=\frac{64}{15}+8\pi\]
C esta definida como
\[C: \left\{\begin{matrix}z=4\\ x^2+y^2=4 \end{matrix}\right.\]
escrita de forma vectorial C esta expresada por
\[g:R^2\to R^3/ g(r,t)=(r\cos t,r\sin t,4)\]
la normal (saliente) es el producto vectorial de los elementales
\[n=(0,0,r)\]
luego
\[\iint_C fn dS=\iint_C f(g(r,t))ndS=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}4r^2\cos t drdt=\frac{32}{3}\]
finalmente observamos que se verifica el teorema de la divergencia
\[\iint fnds=\iiint_V div f dV-\iint_C fndS=\frac{64}{15}+8\pi-\frac{32}{3}=\boxed{\boxed{8\pi-\frac{32}{5}}}\]
P4) es claro que no es continua basta tomar uno de los iterados y la curva y=x, con el primero da 0, con el segundo 1.... la funcion no es continua en el origen
C2) si es diferenciable f es clase 1 se cumple entonces que es continua, derivable en toda direccion , existen las parciales, y el error de la definicion de la diferenciabilidad es igual a 0... basta que
alguno de los items anteriores falle, para afirmar que f no es diferenciable
21-10-2013, 03:55
que se te dio por responderle desp de tanto tiempo :O
21-10-2013, 08:09
(21-10-2013 03:55)Julieta93 escribió: [ -> ]que se te dio por responderle desp de tanto tiempo :O
despues de tu comentario recien me percate que erea de mucho tiempo ..... no me di cuenta
21-10-2013, 12:04
Igualmente gracias