08-04-2013, 11:06
Hola, podrían ayudarme a resolver este parcial gracias!
1).De una cierta función \[f:\mathbb{R}^2\longrightarrow{\mathbb{R}}\] se tiene la siguiente información:
\[\nabla{f}=(6xy+y^3,3x^2+3y^2x)\] y \[f(1,-1)=-4\]
a).Responda y justifique:
i).¿Es \[f(x,y)\] diferenciable en todo punto de su dominio?
ii).Halle, si existe, la ecuación del plano tangente a la gráfica de \[f\] en el punto \[P(1,1,-4)\].
iii).¿Existe un vector unitario \[u\] tal que \[D_uf(1,-1)=10\]?
Obs:\[D_uf(x,y)\]= matriz derivada de \[f\]. Aca me confundi esto no es la matriz derivada, es la derivada direccional de \[f\] en la dirección del vector u
b).Sea \[ h(u,v)=(f\circ{\vec{g}})(u,v)\] y \[\vec{g}(u,v)=(5uv+u^2,2v^3-u)\].
i).Halle la matriz de derivadas primeras de la función \[h(u,v)\] en el punto \[(-2,1)\].
ii).Utilizando la regla de la cadena halle \[\frac{{\partial ^2h}}{{\partial u}{\partial v}}\] en el punto \[(-2,1)\].
2).Dada \[f(x,y)=\begin{Bmatrix} \displaystyle\frac{x\left |{y}\right |}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}} & \mbox{ si }& (x,y)\neq{(0,0)}\\0 & \mbox{si}& (x,y)=(0,0)\end{matrix}\] y los puntos P=(0,0) y Q=(0,1).
a)Analizar la continuidad de f(x,y).
b)Hallar, si existen, \[\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\] y \[\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\] en los puntos dados.
3).
\[f(x,y)=\begin{Bmatrix} \displaystyle\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} & \mbox{ si }& (x,y)\neq{(0,0)}\\0 & \mbox{si}& (x,y)=(0,0)\end{matrix}\]
a).Calcular la derivada direccional de la funcion en el origen a lo largo de la curva \[y=x+x^2\]
4).Hallar \[a\] y \[b\] para que la derivada direccional máxima de la función \[z=e^{ax+by}cos(x+y)\] en el punto \[(0,0)\] sea \[3\sqrt[ ]{2}\] en la dirección de la bisectriz del primer cuadrante.
5).Dada \[z=f(x^2-y^2,y^2-x^2)\] utilizando la regla de la cadena probar que \[y\frac{{\partial z}}{{\partial x}}+x\frac{{\partial z}}{{\partial y}}=0\]
1).De una cierta función \[f:\mathbb{R}^2\longrightarrow{\mathbb{R}}\] se tiene la siguiente información:
\[\nabla{f}=(6xy+y^3,3x^2+3y^2x)\] y \[f(1,-1)=-4\]
a).Responda y justifique:
i).¿Es \[f(x,y)\] diferenciable en todo punto de su dominio?
ii).Halle, si existe, la ecuación del plano tangente a la gráfica de \[f\] en el punto \[P(1,1,-4)\].
iii).¿Existe un vector unitario \[u\] tal que \[D_uf(1,-1)=10\]?
Obs:\[D_uf(x,y)\]= matriz derivada de \[f\]. Aca me confundi esto no es la matriz derivada, es la derivada direccional de \[f\] en la dirección del vector u
b).Sea \[ h(u,v)=(f\circ{\vec{g}})(u,v)\] y \[\vec{g}(u,v)=(5uv+u^2,2v^3-u)\].
i).Halle la matriz de derivadas primeras de la función \[h(u,v)\] en el punto \[(-2,1)\].
ii).Utilizando la regla de la cadena halle \[\frac{{\partial ^2h}}{{\partial u}{\partial v}}\] en el punto \[(-2,1)\].
2).Dada \[f(x,y)=\begin{Bmatrix} \displaystyle\frac{x\left |{y}\right |}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}} & \mbox{ si }& (x,y)\neq{(0,0)}\\0 & \mbox{si}& (x,y)=(0,0)\end{matrix}\] y los puntos P=(0,0) y Q=(0,1).
a)Analizar la continuidad de f(x,y).
b)Hallar, si existen, \[\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\] y \[\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\] en los puntos dados.
3).
\[f(x,y)=\begin{Bmatrix} \displaystyle\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} & \mbox{ si }& (x,y)\neq{(0,0)}\\0 & \mbox{si}& (x,y)=(0,0)\end{matrix}\]
a).Calcular la derivada direccional de la funcion en el origen a lo largo de la curva \[y=x+x^2\]
4).Hallar \[a\] y \[b\] para que la derivada direccional máxima de la función \[z=e^{ax+by}cos(x+y)\] en el punto \[(0,0)\] sea \[3\sqrt[ ]{2}\] en la dirección de la bisectriz del primer cuadrante.
5).Dada \[z=f(x^2-y^2,y^2-x^2)\] utilizando la regla de la cadena probar que \[y\frac{{\partial z}}{{\partial x}}+x\frac{{\partial z}}{{\partial y}}=0\]