21-04-2013, 11:37
21-04-2013, 11:37
23-04-2013, 03:55
A ver si algo así puede ser...
\[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}(1+z)^n=n(1+z)^{n-1}\]
\[\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} z^2}(1+z)^n=n(n-1)(1+z)^{n-2}\]
Ahora si
\[(1+z)^n=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}z^k\]
Se me ocurre que podrías derivar miembro a miembro la igualdad, es decir
\[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}(1+z)^n=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}z^k\]
Que creo que quedaría algo así
\[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}(1+z)^n=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}z^k\]
Y si esto último es válido, tendría entonces
\[n(1+z)^{n-1}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}kz^{k-1}\]
Si con el mismo criterio derivas respecto de Z otra vez, obtendrías lo siguiente
\[n(n-1)(1+z)^{n-2}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}k(k-1)z^{k-2}\]
Si operás un poco el segundo miembro, y si yo no me equivoco tampoco, podrías llegar a la siguiente expresión
\[n(n-1)(1+z)^{n-2}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{k^2z^k-kz^k}{z^2}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{k^2z^k}{z^2}-\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{kz^k}{z^2}\]
Ahora podés traer el divisor z^2 hacia la izquierda de esta forma, puesto que es común denominador
\[n(n-1)(1+z)^{n-2}z^2=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}k^2z^k-\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}kz^k\]
Pasando la segunda sumatoria, la que está restando, también hacia la izquierda tendrías...
\[\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}kz^k+n(n-1)(1+z)^{n-2}z^2=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}k^2z^k\]
Recordando que...
\[n(1+z)^{n-1}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}kz^{k-1}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}k\frac{z^k}{z}\]
De donde
\[nz(1+z)^{n-1}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}kz^k\]
Ahora podría reemplazar en la expresión vista antes
\[\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}kz^k+n(n-1)(1+z)^{n-2}z^2=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}k^2z^k\]
\[nz(1+z)^{n-1}+n(n-1)(1+z)^{n-2}z^2=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}k^2z^k\]
Y parece que salió =)
Si no me equivoqué en ningún paso intermedio, todo parece bastante coherente jejejeje
¡No me tenía fe! Contá que te parece después y si eventualmente es correcta la resolución
Saludos, suerte!
\[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}(1+z)^n=n(1+z)^{n-1}\]
\[\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} z^2}(1+z)^n=n(n-1)(1+z)^{n-2}\]
Ahora si
\[(1+z)^n=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}z^k\]
Se me ocurre que podrías derivar miembro a miembro la igualdad, es decir
\[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}(1+z)^n=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}z^k\]
Que creo que quedaría algo así
\[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}(1+z)^n=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}z^k\]
Y si esto último es válido, tendría entonces
\[n(1+z)^{n-1}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}kz^{k-1}\]
Si con el mismo criterio derivas respecto de Z otra vez, obtendrías lo siguiente
\[n(n-1)(1+z)^{n-2}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}k(k-1)z^{k-2}\]
Si operás un poco el segundo miembro, y si yo no me equivoco tampoco, podrías llegar a la siguiente expresión
\[n(n-1)(1+z)^{n-2}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{k^2z^k-kz^k}{z^2}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{k^2z^k}{z^2}-\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{kz^k}{z^2}\]
Ahora podés traer el divisor z^2 hacia la izquierda de esta forma, puesto que es común denominador
\[n(n-1)(1+z)^{n-2}z^2=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}k^2z^k-\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}kz^k\]
Pasando la segunda sumatoria, la que está restando, también hacia la izquierda tendrías...
\[\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}kz^k+n(n-1)(1+z)^{n-2}z^2=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}k^2z^k\]
Recordando que...
\[n(1+z)^{n-1}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}kz^{k-1}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}k\frac{z^k}{z}\]
De donde
\[nz(1+z)^{n-1}=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}kz^k\]
Ahora podría reemplazar en la expresión vista antes
\[\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}kz^k+n(n-1)(1+z)^{n-2}z^2=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}k^2z^k\]
\[nz(1+z)^{n-1}+n(n-1)(1+z)^{n-2}z^2=\sum_{K=0}^{n}\binom{n}{k}k^2z^k\]
Y parece que salió =)
Si no me equivoqué en ningún paso intermedio, todo parece bastante coherente jejejeje
¡No me tenía fe! Contá que te parece después y si eventualmente es correcta la resolución
Saludos, suerte!
03-05-2013, 16:40
Gracias por la expliación! Ahora ya lo entendí, de veras muchas gracias! =)