(06-05-2013 19:07)Rowdiamond escribió: [ -> ]Ejercicio 1. En el conjunto Z de los números enteros se define la relación R como: \[xRy \Leftrightarrow x - y , es par\]
a) Analizar si la relación planteada es de equivalencia.
b) Si lo es, dar las clases y el conjunto cociente.
Ya analicé y la relación me dio que es de equivalencia, mi pregunta es ¿Cómo defino las clases y el conjunto cociente siendo que es un conjunto infinito?
GRACIAS como siempre!
Ante todo, voy a aclarar que hace ya unos años cursé MateDiscreta y voy a divagar de acuerdo a lo que haya quedado en mi memoria
Por favor no te quedes con esto como última palabra, y en caso que suene convincente lo que digo, corroborá que esté bien
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Si no mal recuerdo las clases de equivalencia son los diferentes conjuntos resultantes luego de aplicar tu relación al conjunto inicial, en este caso, al conjunto de números enteros, el conjunto Z.
Fijate que cuando vos aplicás la relación de equivalencia dada, de acuerdo al análisis que hayas hecho, de seguro llegaste a la conclusión de que dos elementos se relacionan entre sí, si y sólo si éstos son pares o bien impares, puesto que la resta de dos números pares te dará como resultado otro par, y de la misma forma resultará si son dos impares.
Con este en mente, vas a tener dos clases de equivalencia. Una para los números enteros pares y otra para los números enteros impares, puesto que los pares se relacionan solo con los pares, y los impares solo con los impares (algo así como nenes con nenes y nenas con nenas xD hubiese sido más divertido si era mixto, pero es lo que hay jajajajaja)
Y en cuanto al conjunto cociente, no recuerdo honestamente muy bien, pero la Wiki dice que es el conjunto de todas las clases de equivalencia. Si me guiase por esta definición, el conjunto cociente sería un conjunto C que tiene dos elementos, la clase de los números pares y la clase de los números impares.
Si hubiera que ponerlo en notación de esa que usan en discreta, fijate lo siguiente...
La clase del 2, que creo se anotaba así [2], es igual a la del 4, es decir [4], porque ambos se relacionan con números pares, entonces...
[2] = [4] = [6] = ... = [2k]
Para los impares pasa lo mismo
[1] = [3] = [5] = ... = [2k+1]
Estas serían tus clases de equivalencia.
El conjunto cociente resultante bajo la relación R es
Z/R = { [2k] , [2k+1] }
Creo que sería así
Insisto, no tomes esto como una verdad absoluta, sino más bien como una orientación en caso que esté encaminado, o como algo que no deberías hacer en caso que esté todo como el orto jajajajaj Ojalá no suceda este último, no hablaría bien de mi persona .___.