19-05-2013, 13:09
¡Buenas! Resolví este problema, pero no logro detectar qué estoy haciendo mal 
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Hice lo siguiente:
1) Parametricé la cónica aplicando
\[\left\{\begin{matrix} x = \rho \cdot cos(\phi )\\ y = \rho \cdot sen(\phi )\\ z = z\end{matrix}\right.\]
Y me quedó como: \[f(\rho ,\phi) = ( \rho \cdot cos(\phi ), \rho \cdot sen(\phi ), \rho ^{2})\]
2) Aplicando la restricción de la esfera: \[ \rho ^{2} +z^{2} \leq 18 \Rightarrow 2\rho ^{2} \leq 18 \Rightarrow \rho\in [0, 3]\]
3)Calculé el productó vectorial de las derivadas parciales de la función parametrizada y obtuve: \[(2\rho \cdot cos(\phi ). 2\rho \cdot sen(\phi ), -\rho )\]
4)Y llegué a la siguiente integral: \[\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{3}\left \|(2\rho \cdot cos(\phi ). 2\rho \cdot sen(\phi ), -\rho ) \right \|d\rho d\phi = \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{3}\rho\sqrt{4\rho^{2}+1}d\rho d\phi\]
Y al resolverla, el resultado me da distinto al que se supone que tiene que dar... No logro ver dónde me estoy confundiendo, si alguien me da una mano se lo voy a agradecer.
Saludos.
.Cita: Calcule el área del trozo de superficie cónica de ecuación \[z^{2}=x^{2}+y^{2}\] cuyos puntos cumplen con \[x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 18\]
Hice lo siguiente:
1) Parametricé la cónica aplicando
\[\left\{\begin{matrix} x = \rho \cdot cos(\phi )\\ y = \rho \cdot sen(\phi )\\ z = z\end{matrix}\right.\]
Y me quedó como: \[f(\rho ,\phi) = ( \rho \cdot cos(\phi ), \rho \cdot sen(\phi ), \rho ^{2})\]
2) Aplicando la restricción de la esfera: \[ \rho ^{2} +z^{2} \leq 18 \Rightarrow 2\rho ^{2} \leq 18 \Rightarrow \rho\in [0, 3]\]
3)Calculé el productó vectorial de las derivadas parciales de la función parametrizada y obtuve: \[(2\rho \cdot cos(\phi ). 2\rho \cdot sen(\phi ), -\rho )\]
4)Y llegué a la siguiente integral: \[\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{3}\left \|(2\rho \cdot cos(\phi ). 2\rho \cdot sen(\phi ), -\rho ) \right \|d\rho d\phi = \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{3}\rho\sqrt{4\rho^{2}+1}d\rho d\phi\]
Y al resolverla, el resultado me da distinto al que se supone que tiene que dar... No logro ver dónde me estoy confundiendo, si alguien me da una mano se lo voy a agradecer.
Saludos.
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