22-05-2013, 11:17
correccion, en el E3 donde dice \[z+x^2+y^2\geq 2\] debe decir \[z+x^2+y^2\leq 2\]
E1) con los valores de x e y dados podemos calcular el valor de u, evaluando dichos puntos en la ecuacion implicita dada, obtenemos que \[u=2\]
luego por Couchy Dini o asociando a esa funcion el gradiente de la misma, haciendo las cuentitas, obtenemos que
\[u(x,y)=f(x,y)=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y\]
sabemos que \[h(x,y)=w=xu^2\to h(1,3)=4\], para calcular las derivadas de h, defino el arbol de correspondencia
\[\frac{dh}{dx}=\frac{dw}{dx}+\frac{dw}{du}\frac{du}{dx}=u^2-2u\frac{2}{3}_{u=2}=\frac{4}{3}\]
\[\frac{dh}{dy}=\frac{dw}{du}\frac{du}{dy}=2ux\frac{1}{3}_{u=2,x=1}=\frac{4}{3}\]
luego
\[h(x,y)\approx 4+\frac{4}{3}(x-1)+\frac{4}{3}(y-3)\]
finalmente
\[\boxed{h(0,98;3,01)\approx 3.9866}\]
E2) utlizamos la definicion directamente, para ello necesitamos parametrizar la curva dada, sin tomar como centro del cilindro el (1,0) una posible parametrizacion será
\[g:R\to R^3/g(t)=(2\cos^2t,\sin(2t),9-\sin^2(2t))\quad t\in\left [ \frac{\pi}{2},0 \right ]\]
luego
\[g'(t)=(-2\sin(2t),2\cos(2t),-2\sin(4t))\]
por definicion
\[\omega=\int_C fds=\int_{a}^{b}f(g(t))\cdot g'(t)dt\]
hechos las cuentas y reemplazos correspondientes, dando vuelta los limites de integración
\[\\-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}-4\cos^2t\sin(2t)-2\sin^2(2t)+2\sin(2t)\cos(2t)-\sin^2(2t)\sin(4t)dt=\boxed{2+\frac{\pi}{2}}\]
verifiquenlo con wolfram
otra posible parametrizacion, si tomamos como centro del cilindro el (1,0) es
\[g:R\to R^3/g(t)=(\cos t+1,\sin t,9-\sin^2(t))\quad t\in\left [0,\pi ]\]
hay que derivar y hacer las demas cuentas
E3) de las condiciones dadas deducimos que
\[\sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq 2-(x^2+y^2)\]
tomando cilindricas
\[r\leq z\leq 2-r^2\to r\in[0,1]\quad \theta\in [0,2\pi]\]
luego
\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{r}^{2-r^2}rdzdrd\theta=\boxed{\frac{5}{6}\pi}\]
verifiquenlo con wolfram
E4) Dado un campo vectorial
\[f(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))\] para que admita funcion potencial, por la condicion necesaria
\[\frac{dP}{dy}=\frac{dQ}{dx}\to 2g(x)=g(x)+xg'(x)\]
si cambio
\[g(x)=y\to 2y=y+xy'\]
resolviendo
\[y=g(x)=Mx\]
de los datos del enunciado sabemos que
\[f(1,2)=(4(g(1),g(1))=(8,2)\to g(1)=2\]
luego \[g(1)=M=2\]
finalmente
\[\boxed{g(x)=2x}\]