Buenas noches. Agradecería ayuda con este problema.
Calcular el área de la región plana mediante integral doble; no aplicar simetría:
D: conjunto donde son positivas las componentes de \[\bar{f}(x,y)=(4-x^2-y^2,2-x-y^2)\]
De la primera componente, llegué a que es una circunferencia de radio 2.
De la segunda componente me quedó \[y<\sqrt{2-x}\]
Intersectando ambas ecuaciones, corta en x=-1/2 y x=2.
Pero cuando grafico, me queda... como explicarlo... parte de la circunferencia con la zona debajo de la raiz, y una pequeña parte de la circunferencia (que va de x=-2 a x=-1/2) que no se como integrarla.
Gracias.
por un lado
\[4-x^2-y^2\geq 0\]
\[x^2+y^2\leq 4\] (curva roja)
por el otro
\[2-x-y^2\geq 0\]
\[x+y^2\leq 2\](curva azul)
el conjunto de integracion seria el mismo que el de la raiz.
[
attachment=6562]
Cómo lo tomarías?
yo plantee: \[2.(\int_{-2}^{-1/2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}dy.dx + \int_{-1/2}^{2}\int_{0}^{\sqrt{2-x}}dy.dx)\]
está mal no?
edit. Me parece que es mejor tomarlo desde el eje Y
(28-05-2013 22:31)Maik escribió: [ -> ]por un lado
\[4-x^2-y^2\geq 0\]
\[x^2+y^2\leq 4\] (curva roja)
por el otro
\[2-x-y^2\geq 0\]
\[x+y^2\leq 2\](curva azul)
el conjunto de integracion seria el mismo que el de la raiz.
buen, tenes despues que igualar las dos inecuaciones para encontrar en que punto se intersectan ambas:
\[y=\sqrt{2-x}\]
reemplazas en
\[4-x^2-y^2\geq 0\] (por un tema de comodidad, podria haber sido al reves pero a simple vista te das cuenta que es mas tedioso)
\[x^2 - (\sqrt{2-x})^2 <4\]
\[x^2 - |2-x| <4\]
\[x^2 +2-x <4\]
\[x^2 -x -2 =0\]
como raiz sacas -1 y 2. si graficas la funcion te da que en esos puntos las funciones son iguales.
los periodos de integracion quedan definidos por los puntos
\[(-2, 0) , (-1, \sqrt{3}), (\sqrt{3},0)\] (ojo, ese raiz de 3 verificalo)
luego depende de que tomes como funcion techo o piso.
las integrales asi a ojo te diria que quedan
D1 = (-2, -1)dx (0,raiz de 3) dy.
y la otra
D2= (-1, 2)dx (0, raiz de 3) dy.
verificalo por las dudas
como bien dijiste es mejor tomar el area en funcion de x y no de y
las curvas son en entonces
\[x=2-y^2\quad x=-\sqrt{4-y^2}\]
la interseccion da
\[|x|=\sqrt{3}\]
el area sera
\[A=\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\int_{-\sqrt{4-y^2}}^{2-y^2}dxdy=9.38494\]
verificalo con
wolfram
(29-05-2013 01:29)Saga escribió: [ -> ]como bien dijiste es mejor tomar el area en funcion de x y no de y
las curvas son en entonces
\[x=2-y^2\quad x=-\sqrt{4-y^2}\]
la interseccion da
\[|x|=\sqrt{3}\]
el area sera
\[A=\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\int_{-\sqrt{4-y^2}}^{2-y^2}dxdy=9.38494\]
verificalo con wolfram
yo pondria
\[A=\int_{-3}^{\sqrt{3}}\int_{-\sqrt{4-y^2}}^{2-y^2}dxdy\]
Te estas confundiendo maik.. sera porque tenes sueño, pensa lo que me dijiste tranquilo y lo charlamos mañana
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otra cosa..
Maik escribió:\[x^2 - (\sqrt{2-x})^2 <4\]
\[x^2 - |2-x| <4\]
\[x^2 +2-x <4\]
que hiciste ahi ??? aparece un valor absoluto ?? para que ?? despues cambiaste el signo... la verdad me perdiste
edit: fruta fruta, ahi me di cuenta. haceme tuyo saga
(29-05-2013 08:41)Maik escribió: [ -> ]edit: fruta fruta, ahi me di cuenta. haceme tuyo saga
jajaj justo te estaba respondiendo cuando vi el edit en tu mensaje... bueno solucionada tu duda entonces
y no ya estoy comprometido
Una pregunta: por que el limite de integracion inferior de la 2da integral es -(4-y^2)^(1/2) me refiero a por que el menos adelante?
(26-02-2014 12:19)ezzeconte escribió: [ -> ]Una pregunta: por que el limite de integracion inferior de la 2da integral es -(4-y^2)^(1/2) me refiero a por que el menos adelante?
porque solo se ve involucrada para el calculo , la parte negativa de la circunferencia, recorda que estamos tomando los limites en funcion de y, no de x