Buenas Gente!
Otro ejercicio, supongo debe ser una pabada pero ni se como encararlo..... ayudaaa!!
Se sabe que \[\lim_{x\to0^{+}}f\left ( x \right )=A \] y \[\lim_{x\to0^{-}}f\left ( x \right )=B\], calcula en terminos de A y B \[\lim_{x\to0^{+}}f\left ( x^{3}-x \right )\] y \[\lim_{x\to0^{-}}f\left ( x-sen x \right )\]
a ver si te sirve esto
\[f(0^{+}) = A\]
\[f(0^{-}) = B\]
ahora verifica cuanto da
\[\lim_{x\to0^{+}} x^{3}-x \]
y
\[\lim_{x\to0^{-}} x-sen x \]
el primero tiene pinta de dar 0+.
Maik, mmmm sigo con dudas. puedo cambiar la variable x de la funcion por la nueva variable (mmm no sé) \[u=x^{3}-x\] y pensar cuando
\[x \mapsto 0\] entonces \[f\left ( x \right )\rightarrow A\]
y a la vez cuando \[x \mapsto 0\] , \[u\rightarrow 0\] entonces \[f\left ( x^{3}-x \right )\rightarrow A\] ????
no no no.
en realidad estas viendo el problema por el lado que no es.
vos tenes una funcion, no importa cual, pero sabes :
(02-06-2013 17:30)Maik escribió: [ -> ]a ver si te sirve esto
\[f(0^{+}) = A\]
\[f(0^{-}) = B\]
entonces, ahora el problema es saber a que tiende
\[lim_{x \mapsto 0^{+}} x^3-x\]
y a que tiende
\[lim_{x \mapsto 0^{-}} x-sen(x)\]
el primer me parece que es
\[lim_{x \mapsto 0^{+}} x^3-x = lim_{x \mapsto 0^{+}} x*(x^2-1)\]
\[lim_{x \mapsto 0^{+}} x*(x^2-1) = x(-1)\]
recordemos, x tiende a 0 por derecha.
por lo tanto
\[lim_{x \mapsto 0^{+}} x(-1) = -x = 0^{-} \]
por lo tanto
\[lim_{x \mapsto 0^{+}} f(x^3-x) = lim_{x \mapsto 0^{-}} f(x) = B\]
se entendio no? ahora te falta hacer lo mismo con el otro.
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm jajaja no, sigo sin entender jajajaj
(02-06-2013 16:40)Adriana BT escribió: [ -> ]\[\lim_{x\to0^{-}}f\left ( x-sen x \right )\]
bueno, entonces no intentes entender y hace este limite
vos hacelo, cuando lo tengas. te digo como seguis.
Pregunta para Maik, o quien entienda... ambos límites dan cero, o no? Yo lo que no entiendo es qué pide el ejercicio?...
aaah, el primero por derecha y el segundo por izquierda.
Esto es un ejercicio de parcial??... se ve demasiado fácil... dónde está la trampa??
en entender el ejercicio, y en demostrar algebraicamente si tienden a 0 por izq o a 0 por derecha los limites.
pd. el de x-senx no lo hice porque no tengo las herramientas para hacerlo creo.
Ah, con razón... tenía cara de fácil... pero no! :/ La verdad, no se me ocurre cómo demostrar el segundo... tendría que sentarme a pensarlo.
En realidad no se porque le dan tanta vuelta al ejercicio, las hipotesis son
\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=A \quad\lim_{x\to 0^-}f(x)=B \]
como el enunciado nos asegura que ambos limites existen por derecha y por izquierda entonces necesariamente se cumple que
\[f(0^+)=f(0^-) \Rightarrow A=B \]
debemos probar que
\[\lim_{x\to 0^+}f(x^3-x)\quad\mbox{y}\quad \lim_{x\to 0^-}f(x-\sin x)\]
como se puede observar f es una composicion de funciones continuas para todo R, por eso (si no fuese continua NO lo puedo hacer) y solo por eso puedo hacer
\[f(\lim_{x\to 0^+}x^3-x))\quad\mbox{y}\quad f( \lim_{x\to 0^-}(x-\sin x))\]
por definicion
\[f(\lim_{(x\to 0^+}x^3-x))=f( \lim_{x\to 0^-}(x-\sin x))\]
ya que se asegura que ambos limites son iguales en terminos de A y B luego
\[f(0^+)=f( 0^-)\rightarrow \mbox{por hipotesis} \rightarrow A=B\]
no me parece saga.
en ningun lado se define la funcion como derivable o continua.
podes tener que una funcion o definida por trozos o algo como
\[f(x) = \frac{|x|}{x}\]
el limite en 0 no existe.
pero 0 por izq tiene un valor, y 0 por derecha tiene otro, siendo ambos distintos
Saga el enunciado dice que existen los limites laterales pero no que A=B....
como el enunciado nos asegura que ambos limites existen por derecha y por izquierda entonces necesariamente se cumple que
\[f(0^+)=f(0^-) \Rightarrow A=B \]
en el caso de tu resolucion lo planteas como hipotesis?