Llevo largo rato intentando hacer este ejercicio pero la verdad no me sale, alguien que me de una mano?
Probar, usando inducción matemática \[\sum_{k=1}^{n} \frac{\ k }{\2 ^k} = 2 - \frac{\ n+2 }{\2^n} \]
Primero probamos el caso base
P(1): \[\frac{1}{2^1}=2-\frac{1+2}{2^1}\]
Queda \[\frac{1}{2}= \frac{1}{2}\]
Ahora tenemos que probar:
\[P(n) => P(n+1)\]
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k}=2-\frac{n+2}{2^n} => \sum_{k=1}^{n+1}\frac{k}{2^k}=2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}\]
Trabajo con la tesis:
\[\sum_{k=1}^{n+1}\frac{k}{2^k}=2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}\]
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}\]
Uso la hipotesis y queda:
\[2-\frac{n+2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}\]
\[-\frac{n+2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n}.2}=-\frac{n+3}{2^{n}.2}\]
\[-\frac{2n+4}{2^n.2}+\frac{n+1}{2^{n}.2}=-\frac{n+3}{2^{n}.2}\]
\[\frac{-2n-4+n+1}{2^{n}.2}=-\frac{n+3}{2^{n}.2}\]
\[\frac{-n-3}{2^{n}.2}=-\frac{n+3}{2^{n}.2}\]
\[-\frac{n+3}{2^{n}.2}=-\frac{n+3}{2^{n}.2}\]
no entiendo esta parte, como utiliza la hipotesis ahi?
desde el primer claculo que haces cuando utilizas la hipotesis.
gracias.