alguien me podria decir como resuelvo el ej 3) , TP 9: Integrales Multiples.
No lo entiendo bien..
Calcule la masa y el centro de masa de una placa circular con centro en el origen de coordenadas, si su densidad superficial en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje x.
la placa circular tendra ecuación
\[x^2+y^2=R^2\]
por definición
\[M=\iint_R \delta(x,y)dxdy\]
la densidad esta definida como \[\delta(x,y)=k|x|\]
reemplazando y aplicando polares tenes
\[M=\iint k|r\cos\theta|rdrd\theta\]
para sacar las barras de valor absoluto solo hay que considerar el signo de la función coseno, r es siempre positivo, luego por simetría de la figura tenes que resolver
\[M=\iint k r|\cos\theta|rdrd\theta=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{R}kr^2\cos\theta drd\theta=\frac{4kR^3}{3}\]
el centro de masa lo podes hacer ahora ???
Si me sale! Lo que no me queda claro es por qué la integral va de -Pi/2 a Pi/2
Muchas gracias!
observa que el coseno quedo en valor absoluto, para eliminar las barras tenes que considerar el signo de dicha funcion.... como debes saber el coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante... por eso los limites de integración entre los valores que puse