UTNianos

Tengo esta serie
\[\sum \frac{(kx)^n}{n!}\]
y tengo que calcular los valores de x para los cuales la serie converge,
si aplico el criterio de D'alambert me queda:
\[\lim_{n \to \infty }\left | \frac{\frac{\left ( kx \right )^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{(kx)^n}{n!}} \right |=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{k.k^n.x.x^n.n!}{(n+1).n!.k^n.x^n} \right |=\left | kx \right |\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n+1}\]
El límite tiende a 0, entonces TODO tiene a 0, y la serie converge para cualquier valor de x.

Ahora por le criterio de Cauchy sería:
\[\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{\left | \frac{(kx)^n}{n!} \right |}=\lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt[n]{\left | (kx)^n \right |}}{\sqrt[n]{n!}}=\left | kx \right |.\lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}\]
Ese límite tiende a 1, entonces queda \[\left | kx \right | < 1 \Rightarrow -1< kx< 1 \Rightarrow \frac{-1}{k}< x< \frac{1}{k}\]
Y ahí queda definido el intervalo de convergencia.
(Aclaración: la profe nos explicó que: \[\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n} = 1\] y que \[\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n +/-\alpha } = 1\])

Ahora bien, según tenía entendido, aplicando el criterio de Cauchy y el de D'alambert debería dar igual, por qué en este caso no?
GRACIAS!

Mira yo no entiendo mucho de matematicas tomate con pinzas lo que te voy a decir ...

pero no es lo mismo


\[\sqrt[n]{n}\]

que

\[\sqrt[n]{n!}\]


por lo menos para mi

P.D: soy de los boludos que intentan entender matematicas viendo las formulas

Es como dice andesbul, el limite de la raiz sin el factorial es como te dijo tu profesora (igual a 1) pero el limite con el factorial adentro de la raiz es infinito.

(09-07-2013 22:39)EmilianoM escribió: [ -> ]Es como dice andesbul, el limite de la raiz sin el factorial es como te dijo tu profesora (igual a 1) pero el limite con el factorial adentro de la raiz es infinito.

Pero igual, \[\sqrt[n]{n!} = \sqrt[n]{n}.\sqrt[n]{n-1}.\sqrt[n]{n-2}...\] y así...

(10-07-2013 00:41)MannuMartinez escribió: [ -> ]

(09-07-2013 22:39)EmilianoM escribió: [ -> ]Es como dice andesbul, el limite de la raiz sin el factorial es como te dijo tu profesora (igual a 1) pero el limite con el factorial adentro de la raiz es infinito.

Pero igual, \[\sqrt[n]{n!} = \sqrt[n]{n}.\sqrt[n]{n-1}.\sqrt[n]{n-2}...\] y así...

Acordate que es una Serie (tambien conocido como sumatoria) ...

Te vuelvo a repetir tomalo con pinzas lo que tu estas calculando es el limite de un termino de la funcion, cuando la funcion es infinita , ejemplo sencillo ...

(10-07-2013 00:41)MannuMartinez escribió: [ -> ]

(09-07-2013 22:39)EmilianoM escribió: [ -> ]Es como dice andesbul, el limite de la raiz sin el factorial es como te dijo tu profesora (igual a 1) pero el limite con el factorial adentro de la raiz es infinito.

Pero igual, \[\sqrt[n]{n!} = \sqrt[n]{n}.\sqrt[n]{n-1}.\sqrt[n]{n-2}...\] y así...

Ojo, no te confundas. Recordá que:
\[n! = n(n-1)!\Rightarrow \sqrt[n]{n!}=\sqrt[n]{n}\sqrt[n]{(n-1)!}\]
No llegas a nada, practicamente volves al problema del principio con el factorial adentro de la raiz, la cuestion es la siguiente:
\[n!>>n\]
Por lo que el limite que vos tenes:
\[lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=0\]

Tambien hablando particularmente del ejercicio en cuestion la serie de taylor para la funcion exponencial es:
\[e^u=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^n}{n!}\rightarrow u=kx\rightarrow e^{kx}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(kx)^n}{n!}\]
Y si haces memoria converge para cualquier valor de u por lo que el resultado del ejercicio es correcto.