UTNianos

Hola, estoy haciendo este ejercicio de recurrencia

\[a_{n} - 5 a_{n-1} +6 a_{n-2} = 0\]

Me queda que la solución particular es

\[a_{n} = 2.3^{n}+5.2^{n}\]

Depués para probarlo por inducción me quedo trabado y no se cómo seguir

n=h

\[a_{h} = 2.3^{h}+5.2^{h}\]

n=h+1

\[a_{h+1} = 2.3^{h+1}+5.2^{h+1}\]

n=h-1

\[a_{h-1} = 2.3^{h-1}+5.2^{h-1}\]

Demostración

\[a_{h+1} = 5a_{h} + 6a_{h-1} = 5(2.3^{h}+5.2^{h}) - 6(2.3^{h-1}+5.2^{h-1}) = 10.3^{h} + 25.2^{h} - 12.3^{h-1} - 30.2^{h-1} = ....??\]

No se cómo seguir para llegar a mi tesis

Si me pueden ayudar sería genial, gracias!

Partiendo desde donde dejaste que es:

\[10.3^{h} + 25.2^{h} - 12.3^{h-1} - 30.2^{h-1}\]

Expresamos de forma diferente el 12 y el 30 de la siguiente manera.

12= 2*2*3, de otra forma seria 2^2*3
30= 2*3*5

\[10.3^{h} + 25.2^{h} - 2^{2}.3.3^{h-1} - 5.3.2.2^{h-1}\]

Aplicamos propiedades de potencia y nos quedan

\[10.3^{h} + 25.2^{h} - 2^{2}.3^{h} - 5.3.2^{h}\]

Hacemos las cuentas y llegamos a
\[6.3^{h} + 10.2^{h}\]

Expresamos el
6=2*3
10=2*5

\[2.3.3^{h} + 5.2.2^{h}\]

Aplicamos propiedades

\[2.3^{h+1} + 5.2^{h+1}\]

Y llegamos a la respuesta correcta

Muchas gracias, capo!!!

Btw, alto avatar jaja. Gracias de nuevo

luego hay qeu demostrarlo por induccion eh. no se olviden de eso porque viene en el parcial.

brunoramello justamente eso es lo que puso martin!