UTNianos

Hola gente, como va?

Bueno estoy luchando con un ejercicio de parcial en el que tengo que hallar el flujo a traves de una superficie definida como la intereccion de varias superficies. El enunciado dice:

Calcular el flujo de \[f(x,y,z)=(x^2y;z-x^3;x-yx^2)\] a traves de la superficie frontera del cuerpo definido por \[z\geq y^2\] , \[z\leq 2-2x^2-y^2\] en el primer octante. Indicar versores normales.

Se me complica mucho para graficar la superficie dicha en el primer octante. Por otro lado, intente resolverlo por definicion, y termina siendo muuy complicado, asique sospecho que se hace por Gauss. Tambien estube buscando los limites, y me quedo que:

\[y^2\leq z\leq 2-2x^2-y^2\]

\[y^2+x^2\leq 1\]

Si lo paso todo a polar me queda que:

\[r^2sen^2(\varphi )\leq z\leq 2-2r^2cos^2(\varphi )-r^2sen^2(\varphi )\]

\[0\leq r\leq 1\]

Pero para el angulo \[\varphi \], se me complica. Estube pensando esto y sin saber si el razonamiento esta bien o mal se me ocurrio pensar:

\[0 \leq sen(\varphi )\leq 1\]

En cuyo caso \[\varphi \] variaria entre 0 y \[\frac{\pi }{2}\] pero no se si es asi .

Quien me da una mano?

Saludos!

Hola!

(que alguien me corrija si esto no es así)

La verdad que para verlo gráficamente no está muy lindo, si ponés en google 2-2x^2-y^2 te salta el gráfico como para que te des una idea, y después tendrías el cilindro parabólico z=y^2 (y los planos del primer octante).
Obviamente si se cumplen todas las hipótesis, podés usar Gauss; la superficie tiene que tener normal exterior al volumen w, y tiene que ser la frontera de w (suave también). El campo tiene que ser c1 o c2 no me acuerdo y blabla.
La divergencia, si no vi mal, te queda algo así como 2xy, entonces es más fácil. Ojo que cuando hacés el cambio de variable estás cambiando a coordenadas cilíndricas, no a polares, porque estás en R3.

Los límites de z quedan como dijiste.
Ahora te queda la proyección sobre el plano xy, x^2+y^2<=1. Dibujá la circunferencia en R2. Ahí ves claramente, como dijiste, que el radio va de 0 a 1. Y como te pide el primer octante, en R2 sería el primer cuadrante...o sea que phi va de 0 a pi/2.
Y no te olvides del jacobiano en la integral!

Gracias papa!

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