Hola gente, tengo una duda con la convergencia de esta serie:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left (- \frac{3}{2} \right )^n}{\left (\frac{3}{2} \right )^{n+1}} \ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n\left (\frac{3}{2} \right )^n}{\frac{3}{2} \left (\frac{3}{2} \right )^{n}} \ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\frac{3}{2}} \ = \sum_{n=1}^{\infty} \ \frac{2}{3} \ (-1)^n \ = \ \frac{2}{3} \ \sum_{n=1}^{\infty} \ (-1)^n\]
No sé si será muy boludo el ejercicio porque pinta así, pero me trabé ahí y no sé cómo seguir...
Pensé en que puede ser una serie alternada, para llegar a probar convergencia por Leibniz... pero éste criterio no se cumple.
Alguno me podría dar una mano?
No me acuerdo mucho pero porque no hiciste D`Alembert?
Si todo eso es cierto, el límite del término enésimo tendiendo a infinito no da 0, por lo que la serie es divergente por no cumplir con la condición necesaria para convergencia.
¿Mentí mucho?
(21-07-2013 12:40)toxp escribió: [ -> ]No me acuerdo mucho pero porque no hiciste D`Alembert?
Porque D'Alembert se aplica en casos más jodidos, como cuando tenés factoriales y esas cosas...
Este me pareció demasiado simple como para aplicar D'Alembert y, obviamente, no saber cómo resolver lo que hice después
(22-07-2013 00:19)Desert69 escribió: [ -> ]Si todo eso es cierto, el límite del término enésimo tendiendo a infinito no da 0, por lo que la serie es divergente por no cumplir con la condición necesaria para convergencia.
¿Mentí mucho?
Ni idea.
Pero si es fruta, veo que es de muy buena calidad
BTW, ES alternada, y el término "positivo", digamos, es 1^n, digamos. Así que ahí aplicás Leibniz, y como seguramente no se cumple (imagino que por esta huevada del límite que te nombraba antes), inflás el pecho y ponés bien grandote "CONVERGENTE MIS BOLAINAS". Diverge. Porque 1^n no es estrictamente decreciente, entonces ya no cumple con el amigo Leibniz.
Pero casi casi seguro que podés hacer eso mismo de la condición necesaria para el término este 1^n.
-1´n no es estrictamente decreciente, tienen razon. Si no cumple las condiciones de Leibinz las alternantes son divergentes
Sabemos que es alternada la serie... Entonces, si cumple con el criterio de Leibniz, converge.
Ahora... si no cumple el criterio de Leibniz, diverge directamente? No hay casos en los que una serie converja sin que cumpla el criterio de Leibniz?
De ser así, entonces: "si cumple con el criterio de Leibniz, la serie alternada converge" sería recíproca... Cierto?
No estoy seguro ahora de si sirve "para el otro lado". Es decir, que no cumplir una de las condiciones de Leibniz implique diverger. Creo que sí, pero no tengo garantías.
Lo que sí acabo de chequear es el tema de mi mentira en el primer post de la condición necesaria. Para que una serie sea convergente, la sucesión que la genera tiene que tender a 0. Si no lo cumple, entonces diverge.