22-07-2013, 14:42
Buenas gente. Les traigo el parcial de AyGA que se tomó en FRGP el sábado 13/7/2013. Espero que les guste (?). Hasta el proximo aporte.
Mas tarde subo las resoluciones.
1- Dado el sistema de ecuaciones lineales \[\left\{\begin{matrix} (a-1)x + y -z =1\\ 3y + 2z=0\\ (a^{2})-a-6=a\end{matrix}\right.\] hallar todos los valores reales de a para los cuales el sistema es compatible determinado.
2- Sabiendo que \[\begin{bmatrix} x & y&z \\t & u & v\\a &b &c \end{bmatrix} = -6\] calcular, indicando las propiedades utlizadas.
a- \[\begin{bmatrix} -2y &x &z \\-2u &t & v\\-2b &a &c \end{bmatrix} \]
b- \[\begin{bmatrix} x &y &z \\t &u & v\\2x-a &2y-b &2z-c \end{bmatrix} \]
3- Dadas las siguientes rectas \[r: (x,y,z) = (1 + 2t; 1-t;3t); t \in \mathbb{R}\] y \[s: \left\{\begin{matrix} x-y-z+2=0\\ 3y+3z-1=0\end{matrix}\right.\]
Halle las distancias entre ambas rectas.
4- Sea el paralelogramo PQRT, en el cual tres de sus vertices son P(1,1,0), Q(-1,-1,-1) y R(2,2,0)
a)Encuentre utilizando el álgebra vectorial, las coordenadas del vértice T.
b) Calcular el perímetro y el área de dicho paralelogramo
5- Sea la recta r que pasa por los puntos A(1,1,1) y B(3,2,3), y el plano \[\pi : 2x+3y-2z=15\] . Encontrar el punto de intersección entre r y \[\pi \]
PD: carliin acá tenes
Resolucion punto1.
Mas tarde subo las resoluciones.
1- Dado el sistema de ecuaciones lineales \[\left\{\begin{matrix} (a-1)x + y -z =1\\ 3y + 2z=0\\ (a^{2})-a-6=a\end{matrix}\right.\] hallar todos los valores reales de a para los cuales el sistema es compatible determinado.
2- Sabiendo que \[\begin{bmatrix} x & y&z \\t & u & v\\a &b &c \end{bmatrix} = -6\] calcular, indicando las propiedades utlizadas.
a- \[\begin{bmatrix} -2y &x &z \\-2u &t & v\\-2b &a &c \end{bmatrix} \]
b- \[\begin{bmatrix} x &y &z \\t &u & v\\2x-a &2y-b &2z-c \end{bmatrix} \]
3- Dadas las siguientes rectas \[r: (x,y,z) = (1 + 2t; 1-t;3t); t \in \mathbb{R}\] y \[s: \left\{\begin{matrix} x-y-z+2=0\\ 3y+3z-1=0\end{matrix}\right.\]
Halle las distancias entre ambas rectas.
4- Sea el paralelogramo PQRT, en el cual tres de sus vertices son P(1,1,0), Q(-1,-1,-1) y R(2,2,0)
a)Encuentre utilizando el álgebra vectorial, las coordenadas del vértice T.
b) Calcular el perímetro y el área de dicho paralelogramo
5- Sea la recta r que pasa por los puntos A(1,1,1) y B(3,2,3), y el plano \[\pi : 2x+3y-2z=15\] . Encontrar el punto de intersección entre r y \[\pi \]
PD: carliin acá tenes
Resolucion punto1.
Spoiler: Mostrar
1- se necesita descubrir que valores de a hacen que
\[\left\{\begin{matrix} (a-1)x +y-z=1\\ 3y+2z=0 \\ (a^{2}+a-6)z=a\end{matrix}\right.\]
sea compatible indeterminado.
la tercera ecuacion se puede factorizar en (a-2)(a+3)z=a
entonces, a=2 y a=-3 harian que 0 x z = 2 y que 0 x z = -3 , lo cual es un absurdo, porque no existe valor de z tal que 0 x z sea igual a 2 o 3. En estos casos el SEL es incompatible.
luego, pasando el SEL a matriz ampliada, tenemos
A x X = B
\[\begin{bmatrix} (a-1) & 1& -1\\ 0 & 3 & 2\\ 0 & 0 & (a-2)(a+3)\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ a\end{bmatrix}\]
por algun motivo que ya no recuerdo, se consideró que si AxX=B, entoces X= (inversa de A) x B, con el determinante de A distinto de 0.
luego det (A)= (a-1) * 3 * (a-2)(a+3) != 0
por lo tanto det(A)=0, si a=1, si a=2 o si a=-3
evaluamos a=1
\[\left\{\begin{matrix} y-z=1\\ 3y+2z=0\\ -4z=1\end{matrix}\right.\]
si -4z=1 -----> z= -1/4
ecuacion 1: y+1/4?1----> y=3/4
ecuacion 2: 3y-1/2=0 ----> y=1/6.
esto es un absurdo, por lo tanto. cuando a=1 el SEL es incompatible
\[\left\{\begin{matrix} (a-1)x +y-z=1\\ 3y+2z=0 \\ (a^{2}+a-6)z=a\end{matrix}\right.\]
sea compatible indeterminado.
la tercera ecuacion se puede factorizar en (a-2)(a+3)z=a
entonces, a=2 y a=-3 harian que 0 x z = 2 y que 0 x z = -3 , lo cual es un absurdo, porque no existe valor de z tal que 0 x z sea igual a 2 o 3. En estos casos el SEL es incompatible.
luego, pasando el SEL a matriz ampliada, tenemos
A x X = B
\[\begin{bmatrix} (a-1) & 1& -1\\ 0 & 3 & 2\\ 0 & 0 & (a-2)(a+3)\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ a\end{bmatrix}\]
por algun motivo que ya no recuerdo, se consideró que si AxX=B, entoces X= (inversa de A) x B, con el determinante de A distinto de 0.
luego det (A)= (a-1) * 3 * (a-2)(a+3) != 0
por lo tanto det(A)=0, si a=1, si a=2 o si a=-3
evaluamos a=1
\[\left\{\begin{matrix} y-z=1\\ 3y+2z=0\\ -4z=1\end{matrix}\right.\]
si -4z=1 -----> z= -1/4
ecuacion 1: y+1/4?1----> y=3/4
ecuacion 2: 3y-1/2=0 ----> y=1/6.
esto es un absurdo, por lo tanto. cuando a=1 el SEL es incompatible