Feer
El primero esta bien, es sencillo verificar que la primera curva que obtenes, es ortogonal a la segunda
Derivaste mal la segunda componente de F en el practico 2, z suma, no multiplica al cociente ,y otra pregunta... al margen de ese detalle, como concluis que
\[h(1,99;1,02)=\boxed{1}+......\]
ese 1, ¿de donde lo sacaste? acordate que h es una composición
3) podes definir la curva como
\[C: \left\{\begin{matrix}F(x,y,z)=-x+y+z\\\\ G(x,y,z)=y^2+z^2-10 \end{matrix}\]
el vector director de la recta tangente esta definida como
\[\nabla F(4,1,3)\times \nabla G(4,1,3)=(2,3,-1)\quad \times=\mbox{producto vectorial}\]
finalmente la recta escrita de forma vectorial es de la forma \[r(\alpha)=(4+2\alpha,1+3\alpha,3-\alpha)\]
para saber si corta en algun punto del eje x basta resolver el sistema
\[r(\alpha)=(4+2\alpha,1+3\alpha,3-\alpha)=(1,0,0)\to SI\]
por lo tanto no lo corta
4a) defino
\[F(x,y,z)=-x^3+3x+y^2e^x+z\to\nabla F(x,y,z)=(-3x^2+3+y^2e^x,2y,1)\]
como el plano tangente a dicha superficie es paralelo al xy entonces es paralelo a la normal (0,0,1) entonces por definicion de vectores paralelos
\[ \nabla F(x,y,z)=(-3x^2+3+y^2e^x,2y,1)=\lambda(0,0,1)\to \boxed{\lambda=1}\]
entonces
\[\\-3x^2+3+y^2e^x=0\\2y=0\]
de donde \[\boxed{|x|=1\quad y=0}\]
finalmente los puntos pedidos son \[\boxed{A=(1,0,-2)\quad B=(-1,0,2)}\]
(revisen las cuentas, por las dudas
)
4b) son solo cuentas, cualquier duda ...
