Buenas gente!!
Tengo dudas con este problema de parcial:
\[S=\left \{ A\in \mathbb{R}^{2x2}/ det(A)=0 \wedge Tr(A)=0 \right \}\]
\[W=\left \{ B\in \mathbb{R}^{2x2}/ B=-B^{t} \right \}\]
¿Son S y W subespacios de \[\mathbb{R}^{2x2}\]? En caso afirmativo demuestre, dé una base y dimensión, si es falso puede dar un contraejemplo.
Mi problema es con S:
Puedo decir que A es \[\begin{pmatrix}0 &a\\ 0 & 0\end{pmatrix}\]? Porque siendo así cumpliría con las condiciones para ser subespacio no?
Para que S sea subespacio de Vtiene que cumplir con 4 condiciones:
\[1) S\subseteq V\]
\[2) S \neq \varnothing \]
\[3) u\epsilon S,v \epsilon S => (u+v) \epsilon S\]
\[4) u\epsilon S,k \epsilon \mathbb{R} => (k.u) \epsilon S\]
Las primeras dos lo cumple, y dsp en las otras dos
\[U = \begin{pmatrix}0 & a_{1} \\ 0 & 0\end{pmatrix}\]
\[V = \begin{pmatrix}0 & a_{2} \\ 0 & 0\end{pmatrix}\]
\[U + V = \begin{pmatrix}0 & a_{1}+a_{2} \\ 0 & 0\end{pmatrix}\] = \[\begin{pmatrix}0 & a_{3}\\ 0 & 0\end{pmatrix}\] \[\in S\]
\[kU=\begin{pmatrix}k0 & ka\\ k0 & k0\end{pmatrix} \in S\]
Ahora esto está bien? porque en el parcial me lo tachó, me puso que era falso y me dió un contraejemplo con numeros: \[\begin{pmatrix}-1 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\] y quedé medio mareado
Para u y v tenes que tomar elementos genericos! no podes hacer solo el caso que casi todos sean 0.
TODOS los elementos de la matriz tienen que ser genéricos? me refiero a que no puede haber valores "fijos"?
Claro, seria asi:
\[u=\begin{pmatrix}a &b\\ c&d \end{pmatrix}\]
\[det(u)=0 => ad-bc=0\]
\[traza(u)= 0 => a+d=0\]
\[v=\begin{pmatrix}e &f\\ g&h \end{pmatrix}\]
\[det(v)=0 => eh-fg=0\]
\[traza(v)= 0 => e+h=0\]
\[u+v=\begin{pmatrix}a+e &b+f\\ c+g&d+h \end{pmatrix}\]
Y habria que ver si u+v pertenece a S, es decir:
\[(a+e).(d+h)-(b+f).(c+g)=0 \wedge a+e+d+h=0\]
hm, aunque si encuentro un contraejemplo, como el de la profe, ya quedaria descartado que S sea un subespacio...
Claro, esta es la manera "jodida", si no encontras un contraejemplo sencillo