30-07-2013, 14:48
Sea una f: \[\mathbb{R} \mapsto\mathbb{R}\], continua en \[\mathbb{R}\] / \[\left | f(x)+3 \right |\leq (x-4)^{2}.e^{x}\] para todo \[ x\in \mathbb{R}\]
a.) Es f(x) una función acotada en R ??????
b.) Calcule,si existe, \[\lim_{x \mapsto 4 }(f(x)+3)^{3}.\arctan \frac{1}{x-4}\]. Justifique claramente las respuestas.
el "b" lo pude hacer
\[(-(x-4)^{2}.e^{x})^{3}\leq \left [ f(x)+3) \right ]^{3}\leqslant ((x-4)^{2}.e^{x})^{3}\]
Por teorema de Intercalación
\[\lim_{x\rightarrow4 }(-(x-4)^{2}.e^{x})^{3}=0\] \[\wedge \] \[\lim_{x\rightarrow 4}((x-4)^{2}.e^{x})^{3}=0\]
Entonces \[\lim_{x\rightarrow 4} \left [ f(x)+3 \right ]^{3}=0\]
\[\lim_{x\rightarrow 4} \left [ f(x)+3 \right ]^{3}.\arctan (\frac{1}{x-4})=0\]
Porque el producto de un infinitesimo por una funcion acotada como el arctg da otro infinitesimo.
Pero no me sale la parte "a" me podrían ayudar a resolverlo!!
Gracias de antemano!
a.) Es f(x) una función acotada en R ??????
b.) Calcule,si existe, \[\lim_{x \mapsto 4 }(f(x)+3)^{3}.\arctan \frac{1}{x-4}\]. Justifique claramente las respuestas.
el "b" lo pude hacer
\[(-(x-4)^{2}.e^{x})^{3}\leq \left [ f(x)+3) \right ]^{3}\leqslant ((x-4)^{2}.e^{x})^{3}\]
Por teorema de Intercalación
\[\lim_{x\rightarrow4 }(-(x-4)^{2}.e^{x})^{3}=0\] \[\wedge \] \[\lim_{x\rightarrow 4}((x-4)^{2}.e^{x})^{3}=0\]
Entonces \[\lim_{x\rightarrow 4} \left [ f(x)+3 \right ]^{3}=0\]
\[\lim_{x\rightarrow 4} \left [ f(x)+3 \right ]^{3}.\arctan (\frac{1}{x-4})=0\]
Porque el producto de un infinitesimo por una funcion acotada como el arctg da otro infinitesimo.
Pero no me sale la parte "a" me podrían ayudar a resolverlo!!
Gracias de antemano!