Estoy resolviendo unos ejercicios de la guia y no se como plantear la parte de ejercicios de Producto cartesiano de la guia de mat discreta, pagina 6
la profesora explico lo basico y en la guia me encuentro con ejercicios complejos.
2.1) Probar el valor de verdad de la siguiente proposicion sabiendo que A,B,C incluido U
a) A X (B u C) = (A x B) u (A x C)
b) (A n B) x C = (A x C) n (B x C)
c) (A x A) - (B x B) = (A - B) x (A - B)
Hola que tal. Las igualdades se demuestran como una doble inclusión, o sea, A = B <=> A \[\subset \] B ^ B \[\subset \] A. Yo te muestro la ida, vos hace la vuelta que es exactamente lo mismo pero a la inversa.
a) A X (B \[\cup \] C) = (A x B) \[\cup \] (A x C) <=> 1) A X (B \[\cup \] C) \[\subset \] (A x B) \[\cup \] (A x C) ^ 2) (A x B) \[\cup \] (A x C) \[\subset \] A X (B \[\cup \] C)
1) \[\forall \] (x,y) \[\in \] A X (B \[\cup \] C) => x \[\in \] A ^ y \[\in \] (B \[\cup \] C) => x \[\in \] A ^ (y \[\in \] B v y \[\in \] C) => (x \[\in \] A ^ y \[\in \] B) v (x \[\in \] A ^ y \[\in \] C) => A X B v A x C => A x B \[\cup \] A x C
-------------------------1----------------------2--------------------------3------------------------------------4---------------5
1- Por definición de producto cartesiano
2- Por definición de unión
3- Distributiva de ^ en v
4- Por definición de producto cartesiano
5- Por definición de unión
Partimos del primer término y llegamos al segundo término, queda demostrado que A X (B \[\cup \] C) \[\subset \] (A x B) \[\cup \] (A x C) es verdadera, faltaría demostrar 2) que es exactamente igual pero partiendo del último paso hasta llegar al primero.
b) Es verdadera. Es muy parecido al a), la única diferencia es que donde iba la definición de unión ahora usas la de intersección, si entendiste el a) te tiene que salir.
c) Es falsa, te podés dar cuenta haciendo los diagramas de Venn o tanteando con un contraejemplo. Acordate que el contraejemplo siempre verifica a la hipótesis y no verifica a la tesis, en este caso no influye porque es una igualdad. Contraejemplo:
A= {1,2} B={2,3} AxA = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} BxB = {(3,3),(3,2),(2,3),(2,2)} A-B = {1}
(AxA) - (BxB) = {(1,1),(1,2),(2,1)} ^ (A-B) x (A-B) = {(1,1)} => (AxA) - (BxB) \[\neq \] (A-B) x (A-B) queda demostrado que la proposición es falsa.
Igual te digo que no conviene clavarse con los ejercicios de la guía, realmente no te aportan mucho, y menos demostraciones, tenés que saber hacerlas pero hasta ahí nomas, no se toma mucho, practicá ejercicios de parciales, acá encontras varios, fijate que sean de 2011 en adelante porque antes era cuatrimestral y había un solo parcial, y si estás practicando para el primero no vas a entender nada.
Espero que hayas entendido, cualquier otra duda avisá, suerte!