31-07-2013, 02:28
Gente:
Tengo una duda con derivadas direccionales.
¿Cuando la función está definida por tramos al calcular el límite, hay que dividirlo según la condición para x e y, pero que en el límite pasan a ser u y v?
Pero para el 6.a
\[f(x,y) = \left\{\begin{matrix}\frac{xy-x}{x^2+(y-1)^2}.si(x,y)\neq(0,1)\\0.si(x,y)=(0,1)\end{matrix}\right.\]
\[f'((0,1),(u,v))=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(0+uk,1+vk)-f(0,1)}{k}=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(uk,1+vk)}{k}=\]
Y acá me fijo:
a) Cuando u=0 y v=1
\[\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(0k,1+1k)}{k}=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(0,1+k)}{k}=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{0}{k}=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{\frac{0(1+k)-0}{0^2.+(1+k-1)^2}}{k}=\]
\[\lim_{k\rightarrow 0}\frac{0}{k^3}=0\]
b) Demás casos (análogo a lo de arriba llego a):
\[\lim_{k\rightarrow 0}\frac{uv}{k}\]
Esto vale 0 cuando u.v es 0. Esto es cuando u=1 y v=0 ; u=-1 y v=0; u=0 v=-1.
Juntando las dos condiciones me quedaría:
u=1 y v=0 ;
u=-1 u v=0 ;
u=0 v=-1 ;
u=0 y v=1.
¿Lo resolví bien? Llegué al resultado pero no sé si le estoy pifiando en algo.
La duda es si siempre u y v tienen que tomar los valores de x e y para la condición.
Gracias!
Leandro.
Tengo una duda con derivadas direccionales.
¿Cuando la función está definida por tramos al calcular el límite, hay que dividirlo según la condición para x e y, pero que en el límite pasan a ser u y v?
Pero para el 6.a
\[f(x,y) = \left\{\begin{matrix}\frac{xy-x}{x^2+(y-1)^2}.si(x,y)\neq(0,1)\\0.si(x,y)=(0,1)\end{matrix}\right.\]
\[f'((0,1),(u,v))=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(0+uk,1+vk)-f(0,1)}{k}=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(uk,1+vk)}{k}=\]
Y acá me fijo:
a) Cuando u=0 y v=1
\[\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(0k,1+1k)}{k}=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(0,1+k)}{k}=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{0}{k}=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{\frac{0(1+k)-0}{0^2.+(1+k-1)^2}}{k}=\]
\[\lim_{k\rightarrow 0}\frac{0}{k^3}=0\]
b) Demás casos (análogo a lo de arriba llego a):
\[\lim_{k\rightarrow 0}\frac{uv}{k}\]
Esto vale 0 cuando u.v es 0. Esto es cuando u=1 y v=0 ; u=-1 y v=0; u=0 v=-1.
Juntando las dos condiciones me quedaría:
u=1 y v=0 ;
u=-1 u v=0 ;
u=0 v=-1 ;
u=0 y v=1.
¿Lo resolví bien? Llegué al resultado pero no sé si le estoy pifiando en algo.
La duda es si siempre u y v tienen que tomar los valores de x e y para la condición.
Gracias!
Leandro.