Buenas,
Respondo lo que hice yo aproximadamente. Aprobé con 5 (no se como). El final me pareció más "rebuscado" que los que venía practicando y que todos los de la librería. Como siempre, fue distinto a todos los demás pero pensandolo un poco puse lo que me pareció.
2B) Era reemplazar A y parametrizar la hipérbola que quedaba
3
A) Para que el núcleo sea de dimensión 1, la imagen tiene que ser de dimensión 3, para cumplir con el teorema de las dimensiones (ya que P2 es de dimensión 3). Para ver esto, como saben, la matriz asociada; más específicamente su rango, coincide con la dimensión de la imagen. Por lo tanto, tengo que forzar que la matriz sea de dimensión 2.
Esto lo logro buscando el determinante, despejo k y me da dos valores que cumplen. Creo que era -1 y 0. 0 anulaba dos filas, por lo que la dimensión de la imagen quedaría en 1 => no sirve. Me quedé con el otro valor
B) Para esta parte reemplacé k y puse un vector genérico (a,b,c) al que multipliqué por la matriz asociada. Eso iba a ser igual a (-1,-1,-2) pero en base B (ya que la matriz devuelve en base B), por lo que primero pasé el vector (-1,-1,-2) a base B y eso fue lo que lo igualé. Una vez hecho esto, despejé y obtuve los valores que cumplian con lo pedido. Si mal no recuerdo, me daba {X^2,0,1} que cumple.
4
Ni idea... empecé a despejar, aplicar el módulo, me quedaron varias condiciones y (X+1)^2 + otro termino entre 1 y <=9... en fin, todo terminó en dibujar cualquier cosa que me parecía, es decir: dos ejes. El X es la parte real, el Y la imaginaria. En Y marqué 1 y de ahí para abajo cumpliría. El argumento lo considere entre 3/4 y 5/4 de pi y quedó un pedacito de un círculo en el segundo y tercer cuadrante.
5
A)Tampoco se si estaba bien, no me quedaba lindo, pero empecé a analizar por partes. Verifiqué que A es diagonalizable porque m son los autovalores de la diagonal principal (ya que es triangular) y generaría un autoespacio de dimensión dos que coincide con el autovalor de multiplicidad 2. Digo "generaría" porque no se como demostrar eso; simplemente lo escribí a ver si pasaba, y me pareció que era así porque cualquier matriz que ponia en la calculadora con estas caracteristicas me la diagonalizaba OK y me daba los autovalores. Luego A(trans) también sería diagonalizable. Luego la multiplicación de los dos me daba una matriz diagonal, obviamente "diagonalizable" y la suma de sus autovalores sería positivo puesto que me quedaba m al cuadrado en ambos; siendo los autovalores los coeficientes de la diagonal principal
B)Este buscabas las bases de S, me quedaba de dimensión 1, por lo tanto el complemento de S (su base) es de dimensión 3 (ya que estamos en R4). Lo mismo busco la base para W, me queda de dimensión 2, entonces la suma no iba a ser directa puesto que 3 + 2 = 5 (y no 4), por lo tanto la dimensión de la intersección entre ambas no es nula (y esto es lo que define a la suma directa).
Bueno, esto es lo que me acuerdo que hice, no se qué estará bien y que no; es simplemente mi pequeño aporte para alguien que quiera dar el martes que viene. Yo di 4 veces mal en el verano, tuve que recursar (anual -> cuatrimestral) y la metí ahora. No se desanimen, siguen intentando que a la larga la van a meter; cuando tengan la casualidad/suerte de que les toque algo y lo puedan hacer (como me pasó a mi). Y si hay que recursar... no pasa nada, si realmente estudiaron pasan la cursada de taquito, pueden faltar casi todas las clases y un cuatrimestre se pasa volando. Se los digo yo que en el verano me quería matar por tener que cursar de nuevo, pero después ni me di cuenta y ya estaba ayer rindiendo finales de nuevo como "hasta hace unos días atrás" en febrero. Ah, y si la recursan, capaz que la promocionan también! A no deprimirse!
Saludos!