UTNianos

Tengo esta ecuación:

\[z^{2} = 2\cdot\overline{z}\]

y me preguntan:

"Los complejos que verifican la ecuación son:"

a) dos complejos conjugados y dos reales
b) dos reales y dos imaginarios puros
c) sólo dos complejos conjugados
d) infinitas soluciones

Estoy desarrollando la ecuación pero me parece que en algún lugar la estoy manqueando... Les dejo lo que planteé yo:

\[z = a + bi\] y \[\overline{z} = a - bi\]

\[(a + bi)^2 = 2\cdot (a-bi)\]

\[a^2 + 2abi - b^2 = 2a - 2bi\]

Separo los términos reales de los imaginarios....
\[a^2 + 2a - b^2 = -2bi - 2abi\]


y acá me trabé, no se como seguir! Si me pueden dar una mano sería un golazo.

Gracias!!!

(a^2-b^2, 2ab) = (2a, -2b)

a^2-b^2= 2a

2ab=-2b => a=1 o b=0

Si b=0 => a( a-2) = 0 => z=(0,0) o z= (2,0)

si a=1 => 1-b^2=2 => b^2=-1 => b= i


Entonces solo verifica z= (0,0), z= (2,0), z=(1, i) en este ultimo caso z= 1+ i * i => z=1-1 => z= 0
Por lo tanto solo verifica z= (0,0), z= (2,0)