UTNianos

Hola a todos, estoy haciendo ejercicios de subespacios y me trabo mucho en los de matrices. No se como encarar este ejercicio:
Sean en V los subespacios S y T, halle una base y la dimension de S^T:

\[V= R^{2x2} , S= \left \{ A\in R^{2x2} / A\: es\, diagonal \right \}\]

\[T = gen \left \{ \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 &2 \\ 3& 1\end{pmatrix} \right \}\]

No entiendo como se halla S^T cuando tengo matrices. Agradezco su ayuda.

\[S%20=%20gen%20\left%20\{%20\begin{pmatrix}1%20&%200%20\\%200%20&%201%20\end{pmatrix}%20%20\right%20\}\]

EDIT: Aca pifie feo, una diagonal es base = gen {a(1 0 ) + b (0 0)}
--------------------------------------------------0.0------0.1

El spoiler tiene el ejercicio pero arrastro ese error, fijate si igual te sirve para ver el procedimiento.

espero que te sirva querido!!

Al final del ejercicio, cuando exprese la interseccion de S y de T por el generado de una base, fijate que parece que puse un -2, en realidad es -1 jajaja tengo una letra de mierda!

Gracias gente, ahi creo que la caché

Mirá lo que hice yo fue generar a T con escalares para hallar las relaciones entre las componentes de las matrices de T
Primero, para facilitarme el trabajo, agarré otro conjunto de generadores de T (sabés que el que te dan no es único), y eso lo hallás sumando, restando o multiplicando por escalares a cualquiera de los vectores que te dan como dato en el conjunto de generadores, NO PODES INVENTAR OTROS. Entonces me fijé y me convino restar una matriz de la otra\[\begin{pmatrix}1 &2 \\ 3 &4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 &2 \\ 3 &1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 &0 \\ 0 &3 \end{pmatrix}\]

Y uso las que me conviene para lo que voy a hacer ahora. Lo importante es que entiendas que no estoy alterando el subespacio!! Uso otra matriz del mismo subespacio. Vos sabés que un subespacio no tiene una UNICA base ni un unico conjunto de generadores posible. Ahora genero a T así:
\[\alpha _{1}\begin{pmatrix}1 &0 \\ 0 &3 \end{pmatrix}+\alpha _{2}\begin{pmatrix}0 &2 \\ 3 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha _{1} &2\alpha _{2} \\ 3\alpha _{2} &3\alpha _{1}+\alpha _{2} \end{pmatrix}\]

Ahora viendo cada componente puedo deducir quién es a, b, c, d de la matriz y en función de quiénes están.
CLARAMENTE, a es alpha1 y b es 2*alpha2 de ahí saco c y d y compongo la matriz genérica de T
\[\begin{pmatrix}a &b \\ \frac{3}{2}b &3a+\frac{1}{2}b \end{pmatrix}\]

Y ahí obtengo la definición formal de T con las ecuaciones:
\[T=\left \{ \begin{pmatrix}a &b \\ c &d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{2x2}/c=\frac{3}{2}b\wedge d=3a+\frac{1}{2}b \right \}\]

Luego V es fácil, ya casi que te lo dan. Si te dicen que son diagonales, ya sabés que b y c son cero:
\[V=\left \{ \begin{pmatrix}a &b \\ c &d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{2x2}/b=0\wedge c=0 \right \}\]

Ahora agarrás todas las ecuaciones y definís S intersección V así\[V\cap T=\left \{ \begin{pmatrix}a &b \\ c &d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{2x2}/b=0\wedge c=0\wedge c=\frac{3}{2}b\wedge d=3a+\frac{1}{2}b \right \}\]

y ahora componés la matriz genérica de V intersec T
\[V\cap T= \begin{pmatrix}a &0 \\ 0 &3a \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1 &0 \\ 0 &3 \end{pmatrix}Entonces\]\[V\cap T=gen\left \{ \begin{pmatrix}1 &0 \\ 0 &3 \end{pmatrix} \right \}=Base(V\cap T)\Rightarrow dim(V\cap T)=1\]

Como el conjunto de generadores que obtuve fue de una matriz y distinta de la nula, puedo decir que es base. Y así es como usando otro método, llegué al mismo resultado que Santi Aguito. Fijate el método que más te sirva! Todos compartimos