08-08-2013, 05:16
les dejo algunos resueltos
E1) evaluando el punto dado en la superficie definida implicitamente obtenemos que \[z_0=1\quad A=(2,1,1)\]
calculamos el gradiente de \[F(x,y,z)=xz^2+\ln(2y+z-2)-2\]
\[\nabla F=\left(z^2,\frac{2}{2y+z-2},2xz+\frac{1}{2y+z-2}\right)\]
de donde \[\nabla F(2,1,1)=(1,2,5)\] luego el plano tangente sera de la forma \[\pi: (x-2,y-1,z-1)(1,2,5)=0\to \boxed{\pi: x+2y+5z-9=0}\]
el flujo viene dado por
\[\varphi=\iint_R f nds\]
tomando una funcion vectorial
\[g:R^2\to R^3/g(y,z)=(9-2y-5z,y,z)\]
la normal sera el producto de los vectores elementales \[n=g'_y\times g'_z=(1,2,5)\]
luego
\[\varphi=\iint_R f nds=\iint_{P_{yz}} -3x dydz=\iint_{P_{yz}} -3(9-2y-5z) dydz\]
los limites estan en funcion de g, ademas de estar en el primer octante, entonces
\[9-2y-5z>0\quad \boxed {0<z<\frac{9}{5}-\frac{2}{5}y}\]
por transitividad
\[0<\frac{9}{5}-\frac{2}{5}y \to \boxed {0<y<\frac{9}{2}}\]
finalmente
\[\boxed{\boxed{\varphi=\iint_{P_{yz}} -3(9-2y-5z) dzdy=-\frac{729}{20}}}\]
E2) por definicion \[M=\iint_R k\delta(x,y) dA\]
\[\delta(x,y)=\frac{1}{d(P,0)}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\]
luego
\[M=\iint_R k\delta(x,y) dA=k\iint_R \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} dA\]
tomando polares sobre R obtenemos R' con lo que :
\[\boxed{\sqrt{2}<r<2\cos\theta}\]
de donde
\[\boxed{-\frac{\pi}{4}<\theta<\frac{\pi}{4}}\]
finalmente
\[\boxed{\boxed{M=k\iint_R \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} dA=k\iint_{R'} drd\theta=\frac{k\sqrt{2}}{2}(4-\pi)}}\]
E4) si calculamos el volumen por una integral doble obtenemos que
\[V=\iint_{P_{xz}}\left ( \int_{x}^{6}dy \right )dxdz=\iint_{P_{xz}}6-xdxdz\]
los limites son \[\boxed{0<z<4-x}\]
por transitividad \[0<4-x\to \boxed{0<x<4}\]
finalmente
\[\boxed{\boxed{V=\iint_{P_{xz}}6-xdzdx=\frac{112}{3}}}\]
los otros para mas tarde
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