Otra consulta que la hago aca para no abrir otro tema.
Tengo duda con un teorico.
Sea F:R(n)----R un campo escalar diferenciable en A. Demuestre que F es derivable en toda direccion en A.
Lo pense de la siguiente manera yo. Si F es una funcion diferenciable en A, entonces admite plano tangente en A. Por ende sé que existe las derivadas en todas las direcciones en ese punto. Mi inconveniente es que no se como plantearlo, por que me pide que lo demuestre.
Slds!
Es una demostración teórica, buscá en la carpeta que el profesor seguro te la pasó. Consiste en plantear derivabilidad y de ahí encarar como dijiste vos, sacando el gradiente...
Ese es el "teorema 3" de la diferenciabilidad, mira esta es la demostracion que tengo de la carpeta de Gallego:
TEOREMA 3:
Todo campo escalar diferenciable en un punto admite derivadas direccionales en toda dirección y sentido.
f diferenciable en \[\vec{X_{0}}\Rightarrow \forall \check{u} \in \mathbb{R}^{n} \exists f'(\vec{X_{0}},\check{u}) \]
DEMOSTRACIÓN
Partiendo de la definicion de diferenciabilidad y considerando \[\vec{H}=h.\check{u} (h\neq 0)\]
\[f(\vec{X_{0}}+h.\check{u})-f(\vec{X_{0}})=\vec{\bigtriangledown }f(\vec{X_{0}})\cdot h.\check{u} +\left \|h.\check{u} \right \|.\varepsilon (h.\check{u})\] siendo epsilon un infinitesimo en h tendiendo a 0
Dividimos por h y acomodamos:
\[\frac{f(\vec{X_{0}}+h.\check{u})-f(\vec{X_{0}})}{h} =\frac{h. \vec{\bigtriangledown }f(\vec{X_{0}})\cdot \check{u}}{h} +\frac{\left | h \right |\left \|\check{u} \right \|.\varepsilon (h.\check{u})}{h}\]
aplicamos límite:
\[\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f(\vec{X_{0}}+h.\check{u})-f(\vec{X_{0}})}{h}} =\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{h. \vec{\bigtriangledown }f(\vec{X_{0}})\cdot \check{u}}{h}} +\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{\left | h \right |\left \|\check{u} \right \|.\varepsilon (h.\check{u})}{h}}\]
Si te fijas, el primer límite es la definicion de derivada direccional, el segundo limite se cancelan las h y te queda gradiente por versor y el tercer limite es infinitesimo por acotada por lo q da 0
Por lo tanto:
\[f'(\vec{X_{0}},\check{u})= \vec{\bigtriangledown }f(\vec{X_{0}})\cdot \check{u}\]
Esta expresión es una regla práctica para calcular las derivadas direccionales si la funcion es diferenciable.
Te dejo la forma de enunciar que usé yo como una segunda opción a la de Gallego que esta muy bien!
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