26-08-2013, 20:20
Gente necesito su ayuda una vez más, es un ejercicio en el que se aplica el Teorema de Lagrange,
Verificar las desigualdad:
\[b^{n}-a^{n}<n b^{n-1}(b-a)\] con 1<a<b (n perteneciente a \[\mathbb{R} \] y n>1)
Dejo un ejercicio similar que si me salió:
\[ ln(1+a)\leq a \] \[ \forall a>0\]
Armo una función:
\[ f(x)= ln(1+x)-x \]
Y un intervalo [0;x ]
Utilizamos teorema de Lagrange :
- Verifico hipótesis f(x) es continua en [0;x ] porque es suma de dos funciones continuas
\[ f'(x)=\frac{1}{1+x} -1 \]
Entonces (x) es derivable en (0,x)
Entonces puedo aplicar el Teo de Lagrange
\[ f'(x)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\]
\[f(x)= f'(x).x+f(0)\]
\[f(x)= x \left ( \frac{1}{1+c} -1\right )\]
\[ln (1+x)-x= x \left ( \frac{1}{1+c} -1\right )\]
c según el Teorema pertenece a (0,x)
c>0
c+1>0+1
\[\left ( \frac{1}{1+c} -1\right )<0\]
\[x\left ( \frac{1}{1+c} -1\right )<0\]
\[f(x)\leq 0\]
ASÍ QUEDÓ DEMOSTARADA LA DESIGUALDAD,
LO MISMO TENGO QUE HACER CON LA PRIMER DESIGUALDAD PERO NO SE NI QUÉ FUNCIÓN PONER,NI EL INTERVALO,
Verificar las desigualdad:
\[b^{n}-a^{n}<n b^{n-1}(b-a)\] con 1<a<b (n perteneciente a \[\mathbb{R} \] y n>1)
Dejo un ejercicio similar que si me salió:
\[ ln(1+a)\leq a \] \[ \forall a>0\]
Armo una función:
\[ f(x)= ln(1+x)-x \]
Y un intervalo [0;x ]
Utilizamos teorema de Lagrange :
- Verifico hipótesis f(x) es continua en [0;x ] porque es suma de dos funciones continuas
\[ f'(x)=\frac{1}{1+x} -1 \]
Entonces (x) es derivable en (0,x)
Entonces puedo aplicar el Teo de Lagrange
\[ f'(x)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\]
\[f(x)= f'(x).x+f(0)\]
\[f(x)= x \left ( \frac{1}{1+c} -1\right )\]
\[ln (1+x)-x= x \left ( \frac{1}{1+c} -1\right )\]
c según el Teorema pertenece a (0,x)
c>0
c+1>0+1
\[\left ( \frac{1}{1+c} -1\right )<0\]
\[x\left ( \frac{1}{1+c} -1\right )<0\]
\[f(x)\leq 0\]
ASÍ QUEDÓ DEMOSTARADA LA DESIGUALDAD,
LO MISMO TENGO QUE HACER CON LA PRIMER DESIGUALDAD PERO NO SE NI QUÉ FUNCIÓN PONER,NI EL INTERVALO,