UTNianos

Ahi te hago un par mientras te comeno una reglita que suele funcionar. Cuando tenes que integrar por partes para elegir la funcion u acordate de ILPET (Inversa Logaritmica Potencial Exponencial Trigonometrica) es como un orden de prioridades que muchas veces es muy util.
La primera sale asi:
\[\int (2-x^{2})cos(x)dx\] primero tomo asi:
\[u=2-x^{2} \rightarrow du=-2xdx\]
\[dv= cos(x)dx \rightarrow v=sen(x)\]
entonces:
\[\int (2-x^{2})cos(x)dx=(2-x^{2})sen(x)+\int 2xsen(x)dx\]
A la segunda integral otra vez hago por partes, tomo:
\[u=2x \rightarrow du=2dx\]
\[dv=sen(x)dx \rightarrow v=-cos(x)\]
Entonces:
\[\int 2xsen(x)dx=-2xcos(x)+\int 2cos(x)dx=-2xcos(x)+2sen(x)\]
Por lo tanto te queda:
\[\int (2-x^{2})cos(x)dx=(2-x^{2})sen(x)-2xcos(x)+2sen(x)+C\]
Fijate como elegi las u, elegi las potenciales (polinomios) sobre las trigonometricas
Ahi t ayudo con las otras

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La segunda siempre tomo como u al polinomio y como dv a e a la x, hay q hacer dos veces otra vez por partes y agrupando te queda:
\[\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-\int 2xe^{x}dx=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2\int e^{x}dx=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}=e^{x}(x^{2}-2x+2)+C\]

Las de sustitucion en la primera llamo t a ln(x) y dt resulta ser dx/x entonces sale facil:
\[\int \frac{cos(ln(x))dx}{x}=\int cos(t)dt=sen(t)=sen(ln(x))+C\]

El segundo tenes que hacer un par de truquitos para sacarlo, mira:
Primero llamo t a x-2, por lo que dt=dx, entonces queda:
\[\int \frac{2}{9+t^{2}}dt\]
Ahora viene la clave, voy a acomodar lo de abajo para que quede de la forma 1/1+algo al cuadrado:
voy a sacar factor comun 9 en la parte de abajo, y como 9=3^2 entonces puedo escribir asi:
\[\int \frac{2}{9(1+(\frac{t}{3})^{2})}dt=\frac{2}{9}\int \frac{1}{1+(\frac{t}{3})^{2}}dt\]
Sustituyo otra vez llamando z=t/3 y dz=dt/3 entonces 3dz=dt:
\[\frac{2}{9}*3\int \frac{dz}{1+z^{2}}=\frac{2}{3}\int \frac{dz}{1+z^{2}}=\frac{2}{3}arctan(z)=\frac{2}{3}arctan(\frac{x-2}{3})+C\]