juanizb la definicion de area es
\[A=\iint ||g'_u\times g'_v||dudv\quad \times=\mbox{producto vectorial}\]
tenes que calcular tres areas, definidas como
\[\\A_1: z=0\quad\mbox{con}\quad x^2+y^2\leq 1\\\\ A_2: x^2+y^2=1\quad\mbox{con}\quad 0\leq z\leq 1\\\\A_3: z=\sqrt{x^2+y^2}\quad\mbox{con}\quad 0\leq z\leq 1\]
para A1 parametrizo y expreso la funcion vectorial
\[g:R^2\to R^3/g(x,y)=(x,y,0)\]
la norma de el producto vectorial de los elementales es igual a 1 luego sobre la proyeccion sobre el xy tomo polares, finalmente
\[A_1=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}rdrdt=\pi\]
para A2 parametrizo y expreso la funcion vectorial
\[f:R^2\to R^3/f(z,t)=(\cos t,\sin t,z)\]
la norma de el producto vectorial de los elemantales es 1 , no hay restricciones angulares , entonces
\[A_2=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}drdt=2\pi\]
para A3 parametrizo y expreso la funcion vectorial
\[h:R^2\to R^3/h(r,t)=(r\cos t,r\sin t,r)\]
la norma de el producto vectorial de los elementales es \[\sqrt{2}r\] entonces
\[A_3=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\sqrt{2}rdrdt=\sqrt{2}\pi\]
finalmente el area total es la suma de A1+A2+A3
\[\boxed{\boxed{ A_T=(3+\sqrt{2})\pi}}\]