3)a- Hallar k para que
\[1+ \int_{-3k^2}^{0}k\, cos\sqrt{3x+9\pi^2 }=0\]
Buenas, como va? Ahi te mando una ayuda, así lo resolví yo, fijate si te sirve
\[1+\int_{-3k^{2}}^{0}k cos(\sqrt{3x + 9\Pi^{^{2}}}) = 0\]
\[1-\int_{0}^{-3k^{2}}k cos(\sqrt{3x + 9\Pi^{^{2}}}) = 0\]
\[1= \int_{0}^{-3k^{2}}k cos(\sqrt{3x + 9\Pi^{^{2}}})\]
\[\frac{1}{k}= \int_{0}^{-3k^{2}}cos(\sqrt{3x + 9\Pi^{^{2}}})\]
Planteás esta sustitución:
\[\sqrt{3x + 9\Pi^{^{2}}} = u\]
\[\frac{3}{2\sqrt{3x + 9\Pi^{^{2}}}} dx = du\]
\[dx =\frac{2}{3}\sqrt{3x + 9\Pi^{^{2}}} du\]
\[dx =\frac{2}{3} u du\]
Reemplazando
\[\frac{1}{k}= \int_{0}^{-3k^{2}}cos(u) .\frac{2}{3}u du\]
\[\frac{3}{2k}= \int_{0}^{-3k^{2}}cos(u) .u du\]
Tomando cos(u) du = dv => sen(u) = v e integrando por partes te queda
\[\frac{3}{2k}= sen u . u + cos u\] (evaluado entre 0 y -3k^2)
\[\frac{3}{2k}= sen \sqrt{3x + 9\Pi^{^{2}}} . \sqrt{3x + 9\Pi^{^{2}}} + cos \sqrt{3x + 9\Pi^{^{2}}}\] (evaluado entre 0 y -3k^2)
\[\frac{3}{2k}=sen(3\sqrt{(\Pi^{^{2}}-k^{2}}).3\sqrt{(\Pi^{^{2}}-k^{2}}+cos(3\sqrt{(\Pi^{^{2}}-k^{2}})-sen(3\Pi).3\Pi-cos(3\Pi)\]
Despejás y sacas K.
Fijate si algo hice mal o no me expliqué lo suficiente
Espero que te sirva! abrazo